वास्तविक संख्याएँ Exercise – 1.1 NCRT Download PDF || UP Board

 Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ)
Exercise – 1.1

1. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके HCF ज्ञात करें।

(i) 135 और 225   (ii) 196  और 38220 (iii) 867 और 225

(i) 135 और 225  

हल:- 225>135

माना a = 225, b =135

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,

a = b ×q + r, 0 ≤ r < b

225 = 135×1 + 90 (r≠0, जब r शून्य के बराबर नहीं होता है तो पुनः प्रमेय का प्रयोग करते है।)

135 = 90×1 + 45 (r≠0)

90 = 45×2 + 0 (r=0, जब r शून्य के बराबर होता है तो हल समाप्त हो जाता है और b का मान HCF होता है)

HCF = 45

 

(ii) 196  और 38220

 

हल:- 38220>196

माना a = 38220, b=196

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,

a = b×q + r, 0≤ r < b

38220 = 196×195 + 0 (r=0, जब r शून्य के बराबर होता है तो हल समाप्त हो जाता है और b का मान HCF होता है)

HCF = 196

 

(iii) 867 और 225

 

हल:- 867>225

माना a = 867, b= 225

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,

a = b×q + r, 0≤ r < b

867 = 225×3 + 102 (r≠0, जब r शून्य के बराबर नहीं होता है तो पुनः प्रमेय का प्रयोग करते है।)

225 = 102×2 + 51 (r≠0)

102 = 51×2 + 0 (r=0, जब r शून्य के बराबर होता है तो हल समाप्त हो जाता है और b का मान HCF होता है)

HCF = 51

 

2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णाक 6q+1, 6q+3 या 6q+5 के रूप का होता है जहाँ q कोई पूर्णांक है।

 

 हल:-

दर्शाना है – a = 6q+1, 6q+3 या 6q+5

माना a कोई धनात्मक विषम पूर्णाक है और b = 6 है, तो यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,

a = 6q+r, r= 0,1,2,3,4,5 (0≤ r <6, भाजक शेषफल से बड़ा नहीं हो सकता है और न ही बराबर)

‘r’ का मान रखने पर,

यदि r = 2, तो a = 6q

इसी प्रकार, r = 1,2,3,4,5 रखने पर कमशः a = 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4, 6q+5 प्राप्त होगा।

अतः धनात्मक विषम पूर्णाक 6q+1, 6q+3 या 6q+5 के रूप का होगा।

 

3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) कि टुकड़ी को 32 सदस्यों वालें एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है उन स्तंभों कि अधिकतम संख्या क्या है जिसमें वे मार्च कर सकते है?

 

हल:

 

स्तंभों की अधिकतम संख्या HCF(616, 32) के बराबर होंगी।

चूँकि, 616 > 32

तब, यूक्लिड एल्गोरिथ्म से,

616 = 32 × 19 + 8 ( r ≠ 0, तो 32 नये भाज्य और 8 नये भाजक के रूप में )

32 = 8 × 4 + 0 (r =0, तो b का मान HCF होता है)

b = 8

HCF(616, 32) = 8

अतः स्तंभों कि अधिकतम संख्या 8 होंगी।

 

4 . यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णाक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होगा।

 

हल:

 

माना a कोई धनात्मक पूर्णाक है और b = 3 है

तब, यूक्लिड एल्गोरिथ्म से,

a = bq + r  कुछ पूर्णांकों के लिए q ≥ 0 और r = 0,1,2 जहाँ 0 ≤ r < 3

 

इसलिए, a = 3q, a = 3q+1, a = 3q+2

प्रश्नानुसार, सभी समीकरण का दोनों ओर वर्ग करने पर,

a²= 3m या 3m + 1 या 3m + 1

 

5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णाक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है।

हल:

 

माना a कोई धनात्मक पूर्णाक है और b = 3 है

तब, यूक्लिड एल्गोरिथ्म से,

a = bq + r  कुछ पूर्णांकों के लिए q ≥ 0 और r = 0,1,2 जहाँ 0 ≤ r < 3

जब r = 0 हो,

a = 3q

अतः किसी धनात्मक पूर्णाक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होगा।

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