Class10 NCRT बहुपद Exercise – 2.3 pdf || UP Board

Polynomials (बहुपद)
Exercise – 2.3

 

1. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।

(i) p(x) = x3-3x2+5x-3, g(x) = x2-2


हल:

भागफल = x – 2 तथा शेषफल = 7x – 9

(ii) p(x) = x4-3x2+4x+5, g(x) = x2+1-x

हल:

भागफल = x2 + x - 3 तथा शेषफल = 8

(iii) p(x) = x4-5x+6, g(x) = 2 – x2


हल:


भागफल = -x2 -2 तथा शेषफल = -5x + 10


2. पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है।

(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t - 12


हल:

बहुपद t2 – 3 बहुपद  2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t - 12 का एक गुणनखंड है क्योंकि शेषफल 0 है।

(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 +2x +2

हल: 

बहुपद x2 + 3x + 1 बहुपद  3x4 + 5x3 – 7x2 +2x +2 का एक गुणनखंड है क्योंकि शेषफल 0 है।

(iii) x3 -3x + 1, x5 -4x3 +x2 +3x +1

हल: 


बहुपद x3 -3x + 1 बहुपद  x5 -4x3 +x2 +3x +1 का एक गुणनखंड नहीं है क्योंकि शेषफल 0 नहीं 2 है।

3. 3x4 +6x3 -2x2 -10x -5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक (5/3) और -(5/3) है।

हल:

माना p(x) = 3x4 +6x3 -2x2 -10x -5

इसलिए, x =√(5/3), x =-√(5/3)

या


3x2 – 5 = 0

3x2 – 5  गुणनखंड है p(x) का,



भाग विधि से,

p(x) = (3x2 -5) (x2 + 2x +1)

अब x2 + 2x +1 के गुणनखंड करने पर,

x2 + 2x +1 = 0

x2 + x + x +1 = 0

x (x+1) +1(x+1) = 0

( x+1) (x+1) = 0

x = -1, -1

अतः दो अन्य शून्यक -1, -1 है।

4. यदि x3 – 3x2 + x +2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और -2x +4 है तो g(x) ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया है,

भाज्य p(x) = x3 – 3x2 + x +2

भागफल q(x) = x – 2

शेषफल r(x) = -2x +4

भाजक g(x) = ?

हम जानते है,

p(x) = g(x)× q(x) + r(x)

x3 – 3x2 + x +2 = g(x)×(x – 2) + (-2x +4)

भाग विधि से,

अतः g(x) = x2 - x +1

5. बहुपद p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम करते हो तथा

 

(i) घात p(x) = घात q(x)

हल:

भाज्य और भागफल की घात तभी बराबर हो सकती है जब भाजक एक अचर (घात 0 हो) संख्या हो।

माना p(x) = 3x2 -6x +5

माना g(x) = 3

इस प्रकार q(x) = x2 -2x +1 और r(x) = 2

 

(ii) घात q(x) = घात r(x)

हल:

माना p(x) = 2x2 -4x +3

माना g(x) = x2 -2x +1

इस प्रकार q(x) = 2 और r(x) = 1

 

(iii) घात r(x) = 0

हल:

माना p(x) = 2x2 -4x +3

माना g(x) = x2 -2x +1

इस प्रकार q(x) = 2 और r(x) = 1

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