Class10 NCRT बहुपद Exercise – 2.2 pdf || UP Board

Polynomials (बहुपद)
Exercise – 2.2

 

1. निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणाकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

(i) x2-2x-8

हल:

गुणनखंड विधि से,

x2-4x+2x-8 = 0

x(x-4) +2(x-4) = 0

(x+2) (x-4) = 0

x = -2, 4

अतः शून्यक α=-2, β=4

जाँच,


    -2+4 = -(-2)/1

     2 = 2


   -2×4 = -8/1

    -8 = -8

दोनों स्थियों में गुणाकों के बीच के संबंध सत्य है।

 

(ii) 4s2-4s+1

हल:

गुणनखंड विधि से,

4s2-2s-2s+1 = 0

2s(2s-1) -1(2s-1) = 0

(2s-1) (2s-1) = 0

s = 1/2, 1/2

अतः शून्यक α= 1/2, β= 1/2

जाँच,

शून्यकों का योग (α+β) =(-b )/a

    ½ + 1/2 = -(-4/4)

     2/2 = 4/4

       1 = 1

शून्यकों का गुणनफल (αβ) =(c )/a

   ½ × 1/2 = 1/4

    1/4 = 1/4

दोनों स्थियों में गुणाकों के बीच के संबंध सत्य है।

 

(iii) 6x2-3-7x

हल:

गुणनखंड विधि से,

6x2-9x+2x-3 = 0

3x(2x-3) +1(2x-3) = 0

(3x+1) (2x-3) = 0

x = -1/3, 3/2

अतः शून्यक α= 3/2, β= -1/3

जाँच,

शून्यकों का योग (α+β) =(-b )/a

    3/2 + -1/3 = -(-7)/6

     (9-2)/6 = 7/6

       7/6 = 7/6

शून्यकों का गुणनफल (αβ) =(c )/a

   3/2 × -1/3 = -3/6

    -3/6 = -3/6

दोनों स्थियों में गुणाकों के बीच के संबंध सत्य है।

 

(iv) 4u2+8u

हल:

गुणनखंड विधि से,

4u(u+2) = 0

u = 0, -2

अतः शून्यक α= 0, β= -2

जाँच,

शून्यकों का योग (α+β) =(-b )/a

    0 + -2 = -8/4

     -2 = -2

शून्यकों का गुणनफल (αβ) =(c )/a

  0 × -2 = 0/4

    0 = 0

दोनों स्थियों में गुणाकों के बीच के संबंध सत्य है।

 

(v) t2-15

हल:

गुणनखंड विधि से,

t2 - 15 = 0

t = ±√15

t = √15, -√15

अतः शून्यक α= √15, β= -√15

जाँच,

शून्यकों का योग (α+β) =(-b )/a

    √15 + -√15 = -(0)/1

     0 = 0

शून्यकों का गुणनफल (αβ) =(c )/a

   √15 × -√15 = -15

    -15 = -15

दोनों स्थियों में गुणाकों के बीच के संबंध सत्य है।

 

(vi) 3x2-x-4

हल:

गुणनखंड विधि से,

3x2-4x+3x-4 = 0

x(3x-4) +1(3x-4) = 0

(3x-4) (x+1) = 0

x = 4/3, -1

अतः शून्यक α= 4/3, β= -1

जाँच,

शून्यकों का योग (α+β) =(-b )/a

    4/3 + -1 = -(-1)/3

     (4-3)/3 = 1/3

       1/3 = 1/3

शून्यकों का गुणनफल (αβ) =(c )/a

   4/3 × -1 = -4/3

    -4/3 = -4/3

दोनों स्थियों में गुणाकों के बीच के संबंध सत्य है।

 

2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संखयाएं है:

(i) ¼, -1

हल:

माना कोई द्विघात समीकरण (बहुपद) ax2+bx+c है और इसके शून्यक α, β है।

प्रश्नानुसार,

           शून्यकों का योग α + β = -b/a = ¼

              -b/a = ¼

तुलना करने पर,

            -b = 1, a = 4

                       b = -1, a = 4

          शून्यकों का गुणनफल αβ = c/a = -1

                 c/a = -1

या               c/4 = -1  (a = 4)

                   c = -4

अब,

            b = -1, a = 4, c = -4

अतः,

                 ax2+bx+c

                                  4x2-1x-4

द्विघात बहुपद 4x2-1x-4 है।

 

(ii) √2, 1/3

हल:

माना कोई द्विघात समीकरण (बहुपद) ax2+bx+c है और इसके शून्यक α, β है।

प्रश्नानुसार,

           शून्यकों का योग α + β = -b/a = √2

              -b/a = √2

या            -b/a = √2/1

तुलना करने पर,

            -b = √2, a = 1

             b = -√2, a = 1

 

          शून्यकों का गुणनफल αβ = c/a = 1/3

                 c/a = 1/3

या               c/1 = 1/3  (a = 1)

                   c = 1/3

अब,

            b = -√2, a = 1, c = 1/3

अतः,

                 ax2+bx+c = 0

        

                        3x2-3√2+1 = 0

द्विघात बहुपद 3x2-3√2+1 है।

 

(iii) 0, 

हल:

माना कोई द्विघात समीकरण (बहुपद) ax2+bx+c है और इसके शून्यक α, β है।

प्रश्नानुसार,

           शून्यकों का योग α + β = -b/a = 0

              -b/a = 0

या            -b/a = 0/1

तुलना करने पर,

            b = 0, a = 1

 

          शून्यकों का गुणनफल αβ = c/a = 5

                 c/a = 5/1

या               c/1 = √5/1  (a = 1)

                   c = 5

अब,

            b = 0, a = 1,                                     c = √5

अतः,

                                 ax2+bx+c = 0

                                 x2-0x+√5 = 0

                                x2+√5 = 0

द्विघात बहुपद x2+√5 है।

 

(iv) 1, 1

हल:

माना कोई द्विघात समीकरण (बहुपद) ax2+bx+c है और इसके शून्यक α, β है।

प्रश्नानुसार,

           शून्यकों का योग α + β = -b/a = 1

              -b/a = 1

या            -b/a = 1/1

तुलना करने पर,

            b = -1, a = 1

 

          शून्यकों का गुणनफल αβ = c/a = 1

                 c/a = 1/1

या               c/1 = 1/1  (a = 1)

                   c = 1

अब,

            b = -1, a = 1,                                     c = 1

अतः,

                                 ax2+bx+c = 0

                                 x2-1x+1 = 0

द्विघात बहुपद x2-x+1है।

 

(v) -1/4, 1/4

हल:

माना कोई द्विघात समीकरण (बहुपद) ax2+bx+c है और इसके शून्यक α, β है।

प्रश्नानुसार,

           शून्यकों का योग α + β = -b/a = -1/4

              -b/a = -1/4

या            b/a = 1/4

तुलना करने पर,

            b = 1, a = 4

 

          शून्यकों का गुणनफल αβ = c/a = 1/4

                 c/a = 1/4

या               c/4 = 1/4  (a = 4)

                   c = 1

अब,

            b = 1, a = 4,                                     c = 1

अतः,

                                 ax2+bx+c = 0

                                 4x2+1x+1 = 0

द्विघात बहुपद 4x2+x+1है।

 

(vi) 4, 1

हल:

माना कोई द्विघात समीकरण (बहुपद) ax2+bx+c है और इसके शून्यक α, β है।

प्रश्नानुसार,

           शून्यकों का योग α + β = -b/a = 4

              -b/a = 4

या            b/a = -4/1

तुलना करने पर,

            b = -4, a = 1

 

          शून्यकों का गुणनफल αβ = c/a = 1

                 c/a = 1

या               c/1 = 1/1  (a = 1)

                   c = 1

अब,

            b = -4, a = 1,                                     c = 1

अतः,

                                 ax2+bx+c = 0

                                 x2-4x+1 = 0

द्विघात बहुपद x2-4x+1 है।

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