Class10 NCRT बहुपद Exercise – 2.4 pdf || UP Board

 Polynomials (बहुपद)
Exercise – 2.4*

 

1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संखयाएं उसकी शून्यक है। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए।

(i)2x3 + x2 -5x +2; 1/2 ,1, -2

हल:

माना p(x) = 2x3 + x2 -5x +2

और p(x) के लिए शून्यक 1/2 ,1, -2 है, तब शून्यकों का मान समीकरण में रखने पर,

इसी प्रकार 1, -2 रखने पर,

p(1) = 2(1)3 + 12 – 5(1) + 2 = 0

p(-2) = 2(-2)3 + (-2)2 – 5(-2) + 2 = 0

इसीलिए, सभी p(x) के शून्यक है।

अब, सामान्य बहुपद समीकरण से तुलना करने पर,

2x3 + x2 -5x +2 = ax3 + bx2 +cx +d

a = 2, b = 1, c = -5, d = 2

माना α=1/2, β=1, γ = -2

½ + 1 + (-2) = -1/2

½ - 1 = -1/2

-1/2 = -1/2

½×1 + 1×-2 + -2×1/2 = -5/2

½ + (-2) + (-1) = -5/2

½ -3 = -5/2

-5/2 = -5/2

½ × 1× (-2) = -2/2

 -2/2 = -2/2

अतः शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित हुआ।

 

(ii)x3 - 4x2 + 5x - 2; 2 ,1, 1

हल:

माना p(x) = x3 - 4x2 + 5x - 2

और p(x) के लिए शून्यक 2, 1, 1 है, तब शून्यकों का मान समीकरण में रखने पर,

p(2) = 23 -4(2)2 + 5×2 – 2 = 18 – 18 = 0

इसी प्रकार 1, 1 रखने पर,

p(1) = (1)3 – 4(1)2 + 5(1) - 2 = 0

इसीलिए, सभी p(x) के शून्यक है।

अब, सामान्य बहुपद समीकरण से तुलना करने पर,

x3 - 4x2 + 5x – 2 = ax3 + bx2 +cx +d

a = 1, b = -4, c = 5, d = -2

माना α=2, β=1, γ = 1

2 + 1 + 1 = -(-4/1)

4 = 4

2×1 + 1×1 + 1×2 = 5/1

5 = 5

2 × 1× 1 = -(-2/1)

 2 = 2

अतः शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित हुआ।

 

2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2,-7,-14 हों।

हल:

माना p(x) = ax3 + bx2 +cx +d एक त्रिघात बहुपद है और α, β, γ शून्यांक है

α + β + γ = 2

αβ + βγ + γα = -7

αβγ = -14

हम जानते है,

α + β + γ = -b/a = 2/1

तुलना करने पर,

a = 1, b = -2

αβ + βγ + γα = c/a = -7/1

αβγ = -d/a = -14/1

इसी प्रकार c = -7, d = 14

अतः त्रिघात बहुपद p(x) = x3 - 2x2 - 7x +14 होगा।

 

3. यदि बहुपद x3 – 3x2 + x +1 के शून्यक a-b, a, a+b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।

हल:

माना α = a-b, β= a, γ= a+b

शून्यकों का योगफल α + β + γ = -b/a

(a-b) + a + (a+b) = -(-3/1)

3a = 3

a = 1

शून्यकों का गुणनफल αβγ = -d/a

(a-b) × a × (a+b) = -(1/1)  [a = 1]

1-b2 = -1

b2 = 2

b = ±√2

अतः, a = 1 और b = ±√2

 

4. यदि बहुपद x4-6x3-26x2+13x-35 के दो शून्यक 2±√3 हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:

माना p(x) = x4-6x3-26x2+13x-35

दिया है,

2+3 और 2-3 बहुपद p(x) के शून्यक है इसलिए,

x = 2+3, x = 2-3

(x-2-3), (x-2+3) बहुपद p(x) के गुणनखंड है

अर्थात x2-4x+1 बहुपद p(x) का गुणनखंड है

p(x) = x4-6x3-26x2+13x-35

= (x2 – 4x + 1)(x2 – 2x – 35)

= (x2 – 4x + 1)(x2 -7x +5x – 35)

= (x2 – 4x + 1)[x(x-7)+5(x-7)]

= (x2 – 4x + 1)(x-7)(x+5)

अतः x-7=0, x+5=0

बहुपद के अन्य शून्यक x = 7, -5 है।

 

5. यदि बहुपद x4-6x3+16x2-25x+10 को एक अन्य बहुपद x2-2x+k से भाग दिया जाए और शेषफल x+a आता है तो k तथा a ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया है,

भाजक = x2-2x+k

भाज्य = x4-6x3+16x2-25x+10

शेषफल = x+a

हम जानते है,

   भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

 x4-6x3+16x2-25x+10 = (x2-2x+k) × भागफल + (x+a)


भागफल 

इस प्रकार, यदि बहुपद x4-6x3+16x2-26x+10-a को बहुपद x2-2x+k से भाग दे तो शेष 0 होगा।

तुलना करने पर,

-10+2k = 0

2k = 10

k = 5

और

10 – a – 8k + k2 = 0

10 – a – 8×5 + 52 = 0  [k = 5]

-a-5 = 0

a = -5                  

अतः k = 5, a = -5 होगा

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a ) = x