Class10 NCRT दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise – 3.3 pdf || UP Board

 Pair of Linear Equations in Two Variables (दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म)
Exercise – 3.3


1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:

(i) x + y = 14, x – y = 4

हल:

x + y = 14……………..(1)

x – y = 4……………..(2)

समीकरण (1) से,

y = 14 – x ……………….(3)

समीकरण (3) का मान (2) में रखने पर,

x – (14 – x) = 4

x – 14 + x = 4

2x = 14 + 4

2x = 18

x = 9

x का मान समीकरण (2) में रखने पर,

9 – y = 4

y = 9 – 4

y = 5

अतः, x = 9, y = 5 है।

(ii) s - t = 3, 

हल:

s - t = 3……………..(1)

s/3 + t/2 = 6 ……………..(2)

समीकरण (1) से,

s = 3 + t ……………….(3)

समीकरण (3) का मान (2) में रखने पर,

5t + 6 = 36

t = 6

x का मान समीकरण (3) में रखने पर,

s = 3 + 6

s = 9

अतः, s = 9, t = 6 है।

(iii) 3x - y = 3, 9x – 3y = 9

हल:

3x - y = 3……………..(1)

9x – 3y = 9……………..(2)

समीकरण (1) से,

y = 3x - 3 ……………….(3)

समीकरण (3) का मान (2) में रखने पर,

9x – 3(3x – 3) = 9

9x – 9x + 9 = 9

9 = 9

अतः, y = 3x – 3 जहाँ x कोई भी मान ले सकता है अर्थात अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3, 0.4x + 0.5y = 2.3

हल:

0.2x + 0.3y = 1.3……………..(1)

0.4x + 0.5y = 2.3……………..(2)

समीकरण (1) से,

……………….(3)

समीकरण (3) का मान (2) में रखने पर,

0.12x + 0.65 – 0.10x = 0.69

0.02x = 0.04

x = 2

x का मान समीकरण (2) में रखने पर,

0.4×2 + 0.5y = 2.3

0.8 + 0.5y = 2.3

0.5y = 1.5

y = 3

अतः, x = 2, y = 3 है।

(v) √2x + √3y = 0, √3x - √2y = 0

हल:

√2x + √3y = 0……………..(1)

√3x - √2y = 0……………..(2)

समीकरण (1) से,

……………….(3)

समीकरण (3) का मान (2) में रखने पर,

3x – 2x = 0

x = 0

x का मान समीकरण (2) में रखने पर,

√3×0 - √2y = 0

y = 0

अतः, x = 0, y = 0 है।

(vi) 

हल:

समीकरण (1) से,

……………….(3)

समीकरण (3) का मान (2) में रखने पर,

282x + 216 = 780

282x = 564

x = 2

x का मान समीकरण (2) में रखने पर,

2/3 + y/2 = 13/6

y/2 = 9/6

y = 3

अतः, x = 2, y = 3 है।

2. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इससेmका वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।

हल:

2x + 3y = 11…………………(1)

2x – 4y = -24………………(2)

समीकरण (1) से,

y = (11-2x)/3 ………………(3)

समीकरण (3) का मान (2) में रखने पर,

2x – 4[(11-2x)/3] = -24

6x – 44 + 8x = -72

14x = -28

x = -2

x का मान समीकरण (2) में रखने पर,

2(-2) – 4y = -24

-4 – 4y = -24

-4y = -20

y = 5

अतः, x = -2, y = 5 है।

y = mx + 3 में x और y का मान रखने पर,

5 = -2m + 3

m = -1

 

3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल पतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:

(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

माना एक संख्या = x

और दूसरी संख्या = y

प्रश्नानुसार,

x = 3y …………(1)

दोनों संख्याओं का अंतर 26 है, इसलिए 

x  - y = 26

x = y + 26 …………………..(2)

समीकरण (1) में x का मान रखने पर,

y + 26 = 3y

3y – y = 26

2y = 26

y = 13

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,

x = 3×13 = 39

अतः, एक संख्या = 39, और दूसरी संख्या = 13 है।

(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

माना बड़ा कोण = x

और छोटा कोण = y

प्रश्नानुसार,

x = 18 + y …………(1)

दोनों कोण संपूरक है, इसलिए 

x  + y = 180 …………………..(2)

[संपूरक कोणों का योग 180 डिग्री होता है।]

समीकरण (2) में x का मान रखने पर,

y + 18 + y = 180

2y = 180 – 18

2y = 162

y = 81

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,

x = 81 + 18

x = 99

अतः, बड़ा कोण = 99, और छोटा कोण = 81 है।

(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदे ₹3800 में खरीदी। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदे ₹1750 में खरीदी। प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल:

माना एक बल्ले का मूल्य = ₹x

और एक गेंद का मूल्य = ₹y

पहली स्थिति के अनुसार,

7x + 6y = 3800

 ………...(1)

दूसरी स्थिति के अनुसार,

3x + 5y = 1750 ………….(2)

समीकरण (2) में x का मान रखने पर,

11400 – 18y + 35y = 12250

17y = 850

y = 50

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,

x = 500

अतः एक बल्ले का मूल्य = ₹500 और एक गेंद का मूल्य = ₹50

(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹115 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?

हल:

माना टैक्सी का नियत भाड़ा = ₹x

और प्रत्येक अतिरिक्त km का भाड़ा = ₹y

पहली स्थिति के अनुसार,

x + 10y = 105 …………………(1)si 10*

दूसरी स्थिति के अनुसार,

x + 15y = 155……………………(2)

समीकरण (1) से,

x + 10y = 105

x = 105 – 10y

समीकरण (2) में x का मान रखने पर,

x + 15y = 155

(105 – 10y) + 15y = 155

105 + 5y = 155

5y = 50

y = 10v) 50050

2250

..y

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,

x + 10y = 105

x + 10×10 = 105

x = 105 – 100

x = 5

अतः टैक्सी का नियत भाड़ा = ₹5 और प्रत्येक अतिरिक्त km का भाड़ा = ₹10 है।

10 km के लिए,

k x + 10y

5 + 10×10 = 105

इसी प्रकार 25 km के लिए भाड़ा = x + 25y

= 5 + 25×10

= 5 + 250

= ₹255

(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9/11 हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल:

माना अंश = x

और हर = y

इसलिए, परिमेय संख्या = x/y

पहली स्थिति के अनुसार,

11x + 22 = 9y + 18

…………………(1)

दूसरी स्थिति के अनुसार,

6x + 18 = 5y + 15

6x – 5y = -3………………(2)

समीकरण (1) में x का मान रखने पर,

54y – 24 – 55y = -33

y = 9

समीकरण (2) में y का मान रखने पर,

6x – 5×9 = -3

6x = 45 – 3

6x = 42

x = 7

अतः भिन्न संख्या = x/y = 7/9 है।

(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र कि आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब कि आयु उसके पुत्र कि आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

हल:

माना जैकब की वर्तमान आयु = x वर्ष

और पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष

5 वर्ष बाद,

जैकब की आयु = x + 5 वर्ष

पुत्र की आयु = y + 5 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x + 5 = 3(y + 5)

x + 5 = 3y + 15

x = 3y + 10………………(1)

5 वर्ष पूर्व,

जैकब की आयु = x - 5 वर्ष

पुत्र की आयु = x - 5 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x – 5 = 7(y-5)

x – 5 = 7y – 35

x – 7y = -30…………………(2)

समीकरण (2) में x का मान रखने पर,

3y + 10 – 7y = -30

-4y = -40

y = 10

समीकरण (1) में y का मान रखने पर,

x = 3×10 + 10

x = 30 + 10

x = 40

अतः, जैकब की आयु 40 वर्ष तथा पुत्र की आयु 10 वर्ष है।

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