Class10 NCRT दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise – 3.2 pdf || UP Board

 Pair of Linear Equations in Two Variables (दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म)
Exercise – 3.2

 

1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(i) कक्षा x के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों कि संख्या ज्ञात कीजिए।

(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल:

(i) माना लड़कों की संख्या = y

माना लड़कियों की संख्या = x

विद्यार्थियों की कुल संख्या = 10

इसलिए, x + y = 10 ………………..(1)

अब, प्रश्नानुसार लड़कियों कि संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है,

x = y + 4 ……………….(2).(i)नानुसार

ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए दोनों समीकरणों के तीन हल की आवश्यकता होंगी।

समीकरण (1) से,

x + y = 10

x = 10 - y

x	4	6	5
y	6	4	5

समीकरण (2) से,

x = y + 4

x	5	3	7
y	1	-1	3

ग्राफ को देखने पर पाते है कि समीकरणों का प्रतिच्छेद बिन्दु (7, 3) है जो कि रैखिक समीकरणों का उभयनिष्ठ हल है।

अतः, लड़कियों की संख्या = 7 और लड़कों की संख्या = 3 है।

(ii) माना एक पेंसिल का मूल्य = ₹ x

माना एक कलम का मूल्य = ₹ y 

पहली स्थिति के अनुसार,

इसलिए, 5x + 7y = 50 ………………..(1)

दूसरी स्थिति के अनुसार,

7x + 5y = 46 ……………….(2).(i)नानुसार

ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए तीन हल,

समीकरण (1) से,

5x + 7y = 50

x	10	3	-4
y	0	5	10

समीकरण (2) से,

7x + 5y = 46

x	8	-2	3
y	-2	12	5

ग्राफ को देखने पर पाते है कि समीकरणों का प्रतिच्छेद बिन्दु (3, 5) है जो कि रैखिक समीकरणों का उभयनिष्ठ हल है।

अतः, एक पेंसिल का मूल्य = ₹ 3 और एक कलम का मूल्य = ₹ 5 है।

 

2. अनुपातों a₁/a₂, b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है, समांतर है अथवा संपाती है:

(i)5x – 4y + 8 = 0

7x + 6y – 9 = 0

हल:

a₁ = 5, b₁ = -4, c₁ = 8

a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = -9

यहाँ,

अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।

(ii)9x + 3y + 12 = 0

18x + 6y +24 = 0

हल:

a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12

a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24

यहाँ,

अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं संपाती है।

(iii)6x - 3y + 10 = 0

2x - y + 9 = 0

हल:

a₁ = 6, b₁ = -3, c₁ = 10

a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = 9

यहाँ,

अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर है।

 

3.  अनुपातों a₁/a₂, b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत है या असंगत:

(i)3X + 2Y = 5, 2X - 3Y = 7

हल:

a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 5

a₂ = 2, b₂ = -3, c₂ = 7

यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों का युग्म एक बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करता है और रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

 

(ii)2X - 3Y = 8, 4X - 6Y = 9

हल:

a₁ = 2, b₁ = -3, c₁ = 8

a₂ = 4, b₂ = -6, c₂ = 9

यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों का युग्म समांतर है और रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।

 

(iii) (3/2)x + (5/3)y = 7, 9x – 10y = 14

हल:

9x + 10y = 42, 9x – 10y = 14

a₁ = 9, b₁ = 10, c₁ = 42

a₂ = 9, b₂ = -10, c₂ = 14

यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों का युग्म एक बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करता है और रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

 

(iv) 5x - 3y = 11, -10x + 6y = -22

हल:

a₁ = 5, b₁ = -3, c₁ = 11

a₂ = -10, b₂ = 6, c₂ = -22

अतः रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

 

(v) (4/3)x + 2y = 8, 2x + 3y = 12

हल:

a₁ = 4/3, b₁ = 2, c₁ = 8

a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = 12

अतः रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

 

4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में सें कौन से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(i) x + y =5, 2x + 2y = 10

हल:

a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = 5

a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = 10

यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों के युग्म संगत है।

ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए दोनों समीकरणों के तीन हल की आवश्यकता होंगी।

समीकरण (1) से,

x + y =5

x = 5 – y

x	4	3	2
y	1	2	3

 

समीकरण (2) से,

x = (10-2y)/2

x	4	3	2
y	1	2	3

(ii) x - y =8, 3x - 3y = 16

हल:

a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = 8

a₂ = 3, b₂ = -3, c₂ = 16

यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों के युग्म असंगत है।

 

(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0

हल:

a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = -6

a₂ = 4, b₂ = -2, c₂ = -4

यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों के युग्म संगत है।

ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए दोनों समीकरणों के तीन हल की आवश्यकता होंगी।

समीकरण (1) से,

x = (6 – y)/2

x	0	1	2
y	6	4	2

 

समीकरण (2) से,

x = (4 + 2y)/4

x	1	2	3
y	0	2	4

(iv) 2x - 2y - 2 = 0, 4x - 4y – 5 = 0

हल:

a₁ = 2, b₁ = -2, c₁ = -2

a₂ = 4, b₂ = -4, c₂ = -5

यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों के युग्म असंगत है।

 

5.एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 m हैं। बाग कि विमाएं ज्ञात कीजिए।

हल:

माना आयताकार बाग की चौड़ाई = x m

माना आयताकार बाग की लंबाई = y m

प्रश्नानुसार,

अर्धपरिमाप = 36 m

परिमाप/2 = 36

x + y = 36…………………(i)

बाग की लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है,

इसलिए

y – x = 4…………………(ii)

ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए दोनों समीकरणों के तीन हल की आवश्यकता होंगी।

समीकरण (1) से,

x = 36 – y

x	0	36	20
y	36	0	16

 

समीकरण (2) से,

y = x + 4

x	0	-4	5
y	4	0	9

समीकरणों का प्रतिच्छेद बिन्दु (16, 20) है अतः, बाग की लंबाई 20 m और चौड़ाई 16 m है।

 

6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामिति निरूपण जैसा कि

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएं हों।

हल:

रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0, रैखिक समीकरण x + 3y – 10 = 0 को प्रतिच्छेदित करती है क्योंकि

a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -8

a₂ = 1, b₂ = 3, c₂ = -10

(ii) समांतर रेखाएं हों।

हल:

रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0, रैखिक समीकरण 4x + 6y + 5 = 0 के समांतर है क्योंकि

(iii) संपाती रेखाएं हों।

हल:

रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0, रैखिक समीकरण 4x + 6y – 16 = 0 के संपाती है क्योंकि

7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खीचिए। x – अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।

हल:

x – y + 1 = 0…………..(i)

3x + 2y – 12 = 0………..(ii)

ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए दोनों समीकरणों के तीन हल की आवश्यकता होंगी।

समीकरण (1) से,

y = x + 1

x	0	-1	2
y	1	0	3

 

समीकरण (2) से,

3x + 2y – 12 = 0

x	0	2	4
y	6	3	0

x – अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (-1, 0), (2, 3) और (4, 0) है।

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