Class10 NCRT दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise – 3.2 pdf || UP Board
Pair of Linear Equations in Two
Variables (दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म)
Exercise – 3.2
1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) कक्षा
x के
10 विद्यार्थियों ने
एक गणित
की पहेली
प्रतियोगिता में
भाग लिया।
यदि लड़कियों
की संख्या
लड़कों की
संख्या से
4 अधिक हो,
तो प्रतियोगिता
में भाग
लिए लड़कों
और लड़कियों
कि संख्या
ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिल
तथा 7 कलमों
का कुल
मूल्य ₹ 50 है,
जबकि 7 पेंसिल
तथा 5 कलमों
का मूल्य
₹ 46 है। एक
पेंसिल का
मूल्य तथा
एक कलम
का मूल्य
ज्ञात कीजिए।
हल:
(i)
माना लड़कों
की संख्या = y
माना लड़कियों
की संख्या
= x
विद्यार्थियों
की कुल
संख्या = 10
इसलिए,
x +
y =
10 ………………..(1)
अब, प्रश्नानुसार
लड़कियों कि
संख्या लड़कों
की संख्या
से 4 अधिक
है,
x =
y +
4 ……………….(2)
ग्राफीय
रूप में
व्यक्त करने
के लिए
दोनों समीकरणों
के तीन
हल की
आवश्यकता होंगी।
समीकरण
(1) से,
x + y = 10
x = 10 - y
x |
4 |
6 |
5 |
y |
6 |
4 |
5 |
समीकरण
(2) से,
x = y + 4
x |
5 |
3 |
7 |
y |
1 |
-1 |
3 |
ग्राफ
को देखने
पर पाते
है कि
समीकरणों का
प्रतिच्छेद बिन्दु
(7, 3) है जो
कि रैखिक
समीकरणों का
उभयनिष्ठ हल
है।
(ii)
माना एक
पेंसिल का
मूल्य = ₹
x
माना एक
कलम का
मूल्य = ₹
y
पहली स्थिति
के अनुसार,
इसलिए,
5x +
7y =
50 ………………..(1)
दूसरी
स्थिति के
अनुसार,
7x +
5y =
46 ……………….(2)
ग्राफीय
रूप में
व्यक्त करने
के लिए
तीन हल,
समीकरण
(1) से,
5x + 7y =
50

x |
8 |
-2 |
3 |
y |
-2 |
12 |
5 |
ग्राफ
को देखने
पर पाते
है कि
समीकरणों का
प्रतिच्छेद बिन्दु
(3,
5)
है जो
कि रैखिक
समीकरणों का
उभयनिष्ठ हल
है।
अतः, एक
पेंसिल का
मूल्य = ₹ 3
और एक
कलम का
मूल्य = ₹ 5
है।
2. अनुपातों
a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है, समांतर है अथवा संपाती है:
(i)5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
हल:
a1 = 5, b1 = -4, c1 =
8
अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii)9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y +24 = 0
हल:
a1 = 9, b1 = 3, c1 =
12
अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं संपाती है।
(iii)6x - 3y + 10 = 0
2x - y + 9 = 0
हल:
a1 = 6, b1 = -3, c1 =
10
अतः समीकरण
युग्म द्वारा
निरूपित रेखाएं
समांतर है।
3. अनुपातों
a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत है या असंगत:
(i)3X + 2Y = 5, 2X - 3Y = 7
हल:
a1 = 3, b1 = 2, c1 =
5
अतः रैखिक
समीकरणों का
युग्म एक
बिन्दु पर
प्रतिच्छेदित
करता है
और रैखिक
समीकरणों का
युग्म संगत
है।
(ii)2X - 3Y = 8, 4X - 6Y = 9
हल:
a1 = 2, b1 = -3, c1 =
8
अतः रैखिक
समीकरणों का
युग्म समांतर
है और
रैखिक समीकरणों
का युग्म
असंगत है।
(iii) (3/2)x + (5/3)y = 7, 9x – 10y =
14
हल:
9x + 10y = 42, 9x – 10y = 14
a1 = 9, b1 = 10, c1 =
42
अतः रैखिक
समीकरणों का
युग्म एक
बिन्दु पर
प्रतिच्छेदित
करता है
और रैखिक
समीकरणों का
युग्म संगत
है।
(iv) 5x - 3y = 11, -10x + 6y = -22
हल:
a1 = 5, b1 = -3, c1 =
11
अतः रैखिक
समीकरणों का
युग्म संगत
है।
(v) (4/3)x + 2y = 8, 2x + 3y = 12
हल:
a1 = 4/3, b1 = 2, c1
= 8
a2 = 2, b2 = 3, c2 = 12
अतः रैखिक
समीकरणों का
युग्म संगत
है।
4. निम्न
रैखिक
समीकरणों
के युग्मों
में सें
कौन से
युग्म
संगत/असंगत
हैं, यदि
संगत हैं
तो ग्राफीय
विधि से
हल ज्ञात
कीजिए।
(i) x
+ y =5, 2x + 2y = 10
हल:
a1 = 1, b1 = 1, c1 =
5
a2 = 2, b2 = 2, c2 = 10
यहाँ,
अतः रैखिक
समीकरणों के
युग्म संगत
है।
ग्राफीय
रूप में
व्यक्त करने
के लिए
दोनों समीकरणों
के तीन
हल की
आवश्यकता होंगी।
समीकरण
(1) से,
x + y =5
x = 5 – y
x |
4 |
3 |
2 |
y |
1 |
2 |
3 |
समीकरण
(2) से,
x =
(10-2y)/2
x |
4 |
3 |
2 |
y |
1 |
2 |
3 |
(ii) x
- y =8, 3x - 3y = 16
हल:
a1 = 1, b1 = -1, c1 =
8
a2 = 3, b2 = -3, c2 = 16
यहाँ,

अतः रैखिक
समीकरणों के
युग्म असंगत
है।
(iii) 2x
+ y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
हल:
a1 = 2, b1 = 1, c1 =
-6
a2 = 4, b2 = -2, c2 = -4
यहाँ,
अतः रैखिक
समीकरणों के
युग्म संगत
है।
ग्राफीय
रूप में
व्यक्त करने
के लिए
दोनों समीकरणों
के तीन
हल की
आवश्यकता होंगी।
समीकरण
(1) से,
x = (6 –
y)/2
x |
0 |
1 |
2 |
y |
6 |
4 |
2 |
समीकरण
(2) से,
x = (4 +
2y)/4
x |
1 |
2 |
3 |
y |
0 |
2 |
4 |
(iv) 2x
- 2y - 2 = 0, 4x - 4y – 5 = 0
हल:
a1 = 2, b1 = -2, c1 =
-2
a2 = 4, b2 = -4, c2 =
-5

यहाँ,

अतः रैखिक
समीकरणों के
युग्म असंगत
है।
5.एक
आयताकार
बाग, जिसकी
लंबाई,
चौड़ाई
से 4 m अधिक
है, का
अर्धपरिमाप
36 m हैं।
बाग कि
विमाएं
ज्ञात
कीजिए।
हल:
माना आयताकार
बाग की चौड़ाई
= x m
माना आयताकार
बाग की
लंबाई = y m
प्रश्नानुसार,
अर्धपरिमाप
= 36 m
परिमाप/2
= 36

x + y =
36…………………(i)
बाग की
लंबाई,
चौड़ाई से
4 m अधिक
है,
इसलिए
y – x =
4…………………(ii)
ग्राफीय
रूप में
व्यक्त करने
के लिए
दोनों समीकरणों
के तीन
हल की
आवश्यकता होंगी।
समीकरण
(1) से,
x = 36 – y
x |
0 |
36 |
20 |
y |
36 |
0 |
16 |
समीकरण
(2) से,
y = x + 4
x |
0 |
-4 |
5 |
y |
4 |
0 |
9 |
समीकरणों
का प्रतिच्छेद
बिन्दु (16, 20)
है अतः,
बाग की
लंबाई 20 m और चौड़ाई
16 m है।
6. एक
रैखिक
समीकरण
2x + 3y – 8 = 0
दी गई
है। दो
चरों में
एक ऐसी
और रैखिक
समीकरण
लिखिए
ताकि प्राप्त
युग्म
का ज्यामिति
निरूपण
जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद
करती रेखाएं
हों।
हल:
रैखिक समीकरण 2x
+ 3y – 8 = 0, रैखिक समीकरण x + 3y – 10 = 0 को प्रतिच्छेदित करती है क्योंकि
a1 = 2, b1 = 3, c1 =
-8
a2 = 1, b2 = 3, c2 =
-10

(ii) समांतर रेखाएं हों।
हल:
रैखिक समीकरण 2x
+ 3y – 8 = 0, रैखिक समीकरण 4x
+ 6y + 5 = 0 के समांतर है क्योंकि
(iii) संपाती रेखाएं हों।
हल:
रैखिक समीकरण 2x
+ 3y – 8 = 0, रैखिक समीकरण 4x
+ 6y – 16 = 0 के संपाती है क्योंकि

7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खीचिए। x – अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल:
x – y + 1 = 0…………..(i)
3x + 2y – 12 = 0………..(ii)
ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए दोनों समीकरणों के तीन हल की आवश्यकता होंगी।
समीकरण (1) से,
y = x + 1
x |
0 |
-1 |
2 |
y |
1 |
0 |
3 |
समीकरण (2) से,
3x + 2y – 12 = 0
x |
0 |
2 |
4 |
y |
6 |
3 |
0 |
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