Class10 NCRT दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise – 3.2 pdf || UP Board

 Pair of Linear Equations in Two Variables (दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म)
Exercise – 3.2

 

1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(i) कक्षा x के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों कि संख्या ज्ञात कीजिए।

(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल:

(i) माना लड़कों की संख्या = y

माना लड़कियों की संख्या = x

विद्यार्थियों की कुल संख्या = 10

इसलिए, x + y = 10 ………………..(1)

अब, प्रश्नानुसार लड़कियों कि संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है,

x = y + 4 ……………….(2).(i)नानुसार

ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए दोनों समीकरणों के तीन हल की आवश्यकता होंगी।

समीकरण (1) से,

x + y = 10

x = 10 - y

x

4

6

5

y

6

4

5

समीकरण (2) से,

x = y + 4

x

5

3

7

y

1

-1

3



ग्राफ को देखने पर पाते है कि समीकरणों का प्रतिच्छेद बिन्दु (7, 3) है जो कि रैखिक समीकरणों का उभयनिष्ठ हल है।

अतः, लड़कियों की संख्या = 7 और लड़कों की संख्या = 3 है।

(ii) माना एक पेंसिल का मूल्य = x

माना एक कलम का मूल्य = y 

पहली स्थिति के अनुसार,

इसलिए, 5x + 7y = 50 ………………..(1)

दूसरी स्थिति के अनुसार,

7x + 5y = 46 ……………….(2).(i)नानुसार

ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए तीन हल,

समीकरण (1) से,

5x + 7y = 50

x

10

3

-4

y

0

5

10

समीकरण (2) से,

7x + 5y = 46

x

8

-2

3

y

-2

12

5



ग्राफ को देखने पर पाते है कि समीकरणों का प्रतिच्छेद बिन्दु (3, 5) है जो कि रैखिक समीकरणों का उभयनिष्ठ हल है।

अतः, एक पेंसिल का मूल्य = ₹ 3 और एक कलम का मूल्य = ₹ 5 है।

 

2. अनुपातों a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है, समांतर है अथवा संपाती है:

(i)5x – 4y + 8 = 0

7x + 6y – 9 = 0

हल:

a1 = 5, b1 = -4, c1 = 8

a2 = 7, b2 = 6, c2 = -9

यहाँ,

अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।

(ii)9x + 3y + 12 = 0

18x + 6y +24 = 0

हल:

a1 = 9, b1 = 3, c1 = 12

a2 = 18, b2 = 6, c2 = 24

यहाँ,

अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं संपाती है।

(iii)6x - 3y + 10 = 0

2x - y + 9 = 0

हल:

a1 = 6, b1 = -3, c1 = 10

a2 = 2, b2 = -1, c2 = 9
यहाँ,

अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर है।

 

3.  अनुपातों a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत है या असंगत:

(i)3X + 2Y = 5, 2X - 3Y = 7

हल:

a1 = 3, b1 = 2, c1 = 5

a2 = 2, b2 = -3, c2 = 7

यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों का युग्म एक बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करता है और रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

 

(ii)2X - 3Y = 8, 4X - 6Y = 9

हल:

a1 = 2, b1 = -3, c1 = 8

a2 = 4, b2 = -6, c2 = 9
यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों का युग्म समांतर है और रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।

 

(iii) (3/2)x + (5/3)y = 7, 9x – 10y = 14

हल:

9x + 10y = 42, 9x – 10y = 14

a1 = 9, b1 = 10, c1 = 42

a2 = 9, b2 = -10, c2 = 14
यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों का युग्म एक बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करता है और रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

 

(iv) 5x - 3y = 11, -10x + 6y = -22

हल:

a1 = 5, b1 = -3, c1 = 11

a2 = -10, b2 = 6, c2 = -22

अतः रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

 

(v) (4/3)x + 2y = 8, 2x + 3y = 12

हल:

a1 = 4/3, b1 = 2, c1 = 8

a2 = 2, b2 = 3, c2 = 12

अतः रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।

 


4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में सें कौन से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(i) x + y =5, 2x + 2y = 10

हल:

a1 = 1, b1 = 1, c1 = 5

a2 = 2, b2 = 2, c2 = 10

यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों के युग्म संगत है।

ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए दोनों समीकरणों के तीन हल की आवश्यकता होंगी।

समीकरण (1) से,

x + y =5

x = 5 – y

x

4

3

2

y

1

2

3

 

समीकरण (2) से,

x = (10-2y)/2

x

4

3

2

y

1

2

3


(ii) x - y =8, 3x - 3y = 16

हल:

a1 = 1, b1 = -1, c1 = 8

a2 = 3, b2 = -3, c2 = 16

यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों के युग्म असंगत है।

 

(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0

हल:

a1 = 2, b1 = 1, c1 = -6

a2 = 4, b2 = -2, c2 = -4

यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों के युग्म संगत है।

ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए दोनों समीकरणों के तीन हल की आवश्यकता होंगी।

समीकरण (1) से,

x = (6 – y)/2

x

0

1

2

y

6

4

2

 

समीकरण (2) से,

x = (4 + 2y)/4

x

1

2

3

y

0

2

4


(iv) 2x - 2y - 2 = 0, 4x - 4y – 5 = 0

हल:

a1 = 2, b1 = -2, c1 = -2

a2 = 4, b2 = -4, c2 = -5

यहाँ,

अतः रैखिक समीकरणों के युग्म असंगत है।

 

5.एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 m हैं। बाग कि विमाएं ज्ञात कीजिए।

हल:

माना आयताकार बाग की चौड़ाई = x m

माना आयताकार बाग की लंबाई = y m

प्रश्नानुसार,

अर्धपरिमाप = 36 m

परिमाप/2 = 36

x + y = 36…………………(i)

बाग की लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है,

इसलिए

y – x = 4…………………(ii)

ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए दोनों समीकरणों के तीन हल की आवश्यकता होंगी।

समीकरण (1) से,

x = 36 – y

x

0

36

20

y

36

0

16

 

समीकरण (2) से,

y = x + 4

x

0

-4

5

y

4

0

9


समीकरणों का प्रतिच्छेद बिन्दु (16, 20) है अतः, बाग की लंबाई 20 m और चौड़ाई 16 m है।

 

6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामिति निरूपण जैसा कि

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएं हों।

हल:

रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0, रैखिक समीकरण x + 3y – 10 = 0 को प्रतिच्छेदित करती है क्योंकि

a1 = 2, b1 = 3, c1 = -8

a2 = 1, b2 = 3, c2 = -10

(ii) समांतर रेखाएं हों।

हल:

रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0, रैखिक समीकरण 4x + 6y + 5 = 0 के समांतर है क्योंकि


(iii) संपाती रेखाएं हों।

हल:

रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0, रैखिक समीकरण 4x + 6y – 16 = 0 के संपाती है क्योंकि


7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खीचिए। x अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।

हल:

x – y + 1 = 0…………..(i)

3x + 2y – 12 = 0………..(ii)

ग्राफीय रूप में व्यक्त करने के लिए दोनों समीकरणों के तीन हल की आवश्यकता होंगी।

समीकरण (1) से,

y = x + 1

x

0

-1

2

y

1

0

3

 

समीकरण (2) से,

3x + 2y – 12 = 0

x

0

2

4

y

6

3

0



x अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (-1, 0), (2, 3) और (4, 0) है।