Class10 NCRT वास्तविक संख्याएँ Exercise – 1.4 download pdf || UP Board

 Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ)
Exercise – 1.4

 

1. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती है

(i)13/3125

हल:

3125 = 5×5×5×5×5 = 5⁵

हम जानते है कि किसी परिमेय संख्या को p/q मे, q को 2^m×5ⁿ के गुणनखंड रूप में लिखा जा है (जहाँ m और n ऋणोंत्तर पूर्णाक है) तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है

3125 का अभाज्य गुणनखंड = 5⁵

अतः यह गुणनखंड 2^m×5ⁿ (2⁰×5⁵) के रूप मे लिखा जा सकता है इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

(ii)17/8

हल:

8 = 2×2×2 = 2³

हम जानते है कि किसी परिमेय संख्या को p/q मे, q को 2^m×5ⁿ के गुणनखंड रूप में लिखा जा है (जहाँ m और n ऋणोंत्तर पूर्णाक है) तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है

8 का अभाज्य गुणनखंड = 2³

अतः यह गुणनखंड 2^m×5ⁿ (2³×5⁰) के रूप मे लिखा जा सकता है इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

 

(iii)64/455

हल:

455 = 4×7×13

हम जानते है कि किसी परिमेय संख्या को p/q मे, q को 2^m×5ⁿ के गुणनखंड रूप में लिखा जा है (जहाँ m और n ऋणोंत्तर पूर्णाक है) तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है

455 का अभाज्य गुणनखंड = 4×7×13

अतः यह गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप मे नहीं लिखा जा सकता है इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती का होगा।

 

(iv)15/1600

हल:

1600 = 2×2×2×2×2×5×5 = 2⁶×5²

हम जानते है कि किसी परिमेय संख्या को p/q मे, q को 2^m×5ⁿ के गुणनखंड रूप में लिखा जा है (जहाँ m और n ऋणोंत्तर पूर्णाक है) तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है

1600 का अभाज्य गुणनखंड = 2⁶×5²

अतः यह गुणनखंड 2^m×5ⁿ (2⁶×5²) के रूप मे लिखा जा सकता है इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

 

(v)29/343

हल:

343 = 7×7×7

हम जानते है कि किसी परिमेय संख्या को p/q मे, q को 2^m×5ⁿ के गुणनखंड रूप में लिखा जा है (जहाँ m और n ऋणोंत्तर पूर्णाक है) तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है

343 का अभाज्य गुणनखंड = 7³

अतः यह गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप मे नहीं लिखा जा सकता है इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती का होगा।

 

(vi)

हल:

हर = 2³ ×5²

हम जानते है कि किसी परिमेय संख्या को p/q मे, q को 2^m×5ⁿ के गुणनखंड रूप में लिखा जा है (जहाँ m और n ऋणोंत्तर पूर्णाक है) तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है

हर का अभाज्य गुणनखंड = 2³ ×5²

अतः यह गुणनखंड 2^m×5ⁿ (2³ ×5²) के रूप मे लिखा जा सकता है इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

 

(vii)

हल:

हर = 2²×5⁷×7⁵

हम जानते है कि किसी परिमेय संख्या को p/q मे, q को 2^m×5ⁿ के गुणनखंड रूप में लिखा जा है (जहाँ m और n ऋणोंत्तर पूर्णाक है) तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है

हर का अभाज्य गुणनखंड = 2²×5⁷×7⁵

अतः यह गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप मे नहीं लिखा जा सकता है इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती का होगा।

 

(viii)6/15

हल:

हर = 5

हम जानते है कि किसी परिमेय संख्या को p/q मे, q को 2^m×5ⁿ के गुणनखंड रूप में लिखा जा है (जहाँ m और n ऋणोंत्तर पूर्णाक है) तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है

हर का अभाज्य गुणनखंड = 5

अतः यह गुणनखंड 2^m×5ⁿ (2⁰ ×5¹) के रूप मे लिखा जा सकता है इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

 

(ix)35/50

हल:

हर = 10 = 2×5

हम जानते है कि किसी परिमेय संख्या को p/q मे, q को 2^m×5ⁿ के गुणनखंड रूप में लिखा जा है (जहाँ m और n ऋणोंत्तर पूर्णाक है) तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है

हर का अभाज्य गुणनखंड = 2×5

अतः यह गुणनखंड 2^m×5ⁿ (2¹ ×5¹) के रूप मे लिखा जा सकता है इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा।

 

(x)77/210

हल:

हर = 2×3×5

हम जानते है कि किसी परिमेय संख्या को p/q मे, q को 2^m×5ⁿ के गुणनखंड रूप में लिखा जा है (जहाँ m और n ऋणोंत्तर पूर्णाक है) तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है

हर का अभाज्य गुणनखंड = 2×3×5

अतः यह गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप मे नहीं लिखा जा सकता है इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती का होगा।

2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत है।

(i)13/3125

हल:

= 0.00416

 

(ii)17/8

हल:

= 2.125

 

(iii)64/455

हल:

असांत आवर्ती का है

 

(iv)15/1600

हल:

= 0.009375

 

(v)29/343

हल:

असांत आवर्ती का है

 

(vi)

हल:

= 0.115

 

(vii)

हल:

असांत आवर्ती का है

 

(viii)6/15

हल:

= 0.4

 

(ix)35/50

हल:

= 0.7

 

(x)77/210

हल:

असांत आवर्ती का है

 

3. कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दिए है प्रत्येक स्थिति में निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यदि यह परिमेय संख्या है और p/q के रूप की है तो q के अभाज्य गुणनखंडों के बारे मे आप क्या कह सकते है?

 

(i) 43.123456789

हल:

दशमलव प्रसार सांत है इसलिए यह एक परिमेय संख्या है और p/q के रूप की है q का अभाज्य गुणनखंड 2^m×5ⁿ के रूप में है

(ii) 0.120120012000120000…

हल:

दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है

(iii)

हल:

दशमलव प्रसार असांत और आवर्ती है इसलिए यह एक परिमेय संख्या है और p/q के रूप की है q का अभाज्य गुणनखंड 2^m×5ⁿ के अतिरिक्त कोई और अभाज्य संख्या भी है

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