वास्तविक संख्याएँ Exercise – 1.2 NCRT Download pdf || UP Board

 Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ)
Exercise – 1.2

 

1. नम्नलिखित संख्याओ को अभाज्य गुणनखंड के रूप मे व्यक्त कीजिये।

(i) 140

हल:

140 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 5 × 7

                    = 2² × 5 × 7

 

(ii) 156

 

हल:

 

(पहले पश्न की तरह हल करे)

156 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 13

                    = 2² × 3 × 7

 

(iii) 3825

 

हल:

 

 3825 के अभाज्य गुणनखंड = 3 × 3 × 5 × 5 × 17

                    = 3² × 5² × 17

 

(iv) 5005

 

हल:

 

 5005 के अभाज्य गुणनखंड = 5 × 7 × 11 × 13

                   

(v) 7429

 

हल:

 

 7429 के अभाज्य गुणनखंड = 17 × 19 × 23

 

2. पूर्णाकों के निम्नलिखित युग्मों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF है।

(i) 26 और 91

हल:

26 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 13

91 के अभाज्य गुणनखंड = 7 × 13

HCF = 13

LCM = 2×7×13 = 182

दोनों संख्याओ का गुणनफल = 26×91 = 2366

HCF×LCM = 13×182 = 2366

दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF

 

(ii) 510 और 92

हल:

510 = 2×3×5×17

92 = 2×2×23

HCF = 2

LCM = 2×2×3×5×17×23 = 23460

दोनों संख्याओ का गुणनफल = 510×92 = 46920

HCF×LCM = 2×23460 = 46920

दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF

 

(iii) 336 और 54

हल:

336 = 2×2×2×2×3×7

54 = 2×3×3×3

LCM = 2⁴×3³×7 = 3024

HCM = 2×3 = 6

दोनों संख्याओ का गुणनफल = 336×54 = 18144

HCF×LCM = 6×3024 = 18144

दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF

 

3. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCM ज्ञात कीजिए।

(i) 12, 15 और 21

हल:

12 = 2×2×3

15 = 3×5

21 = 3×7

HCF = 3

LCM = 2²×3×5×7 = 420

 

(ii) 17, 23 और 29

हल:

17 = 17×1

23 = 23×1

29 = 29×1

HCF = 1

LCM = 17×23×29 = 11339

 

(iii) 8, 9 और 25

हल:

8 = 2×2×2×1

9 = 3×3×1

25= 5×5×1

HCF = 1

LCM = 2×2×2×3×3×5×5 = 1800

 

4. HCF(306, 657) = 9 दिया है। LCM(306, 657) ज्ञात कीजिए।

हल:

HCF(306, 657) = 9

हम जानते है,

LCM × HCF = दो संख्याओं का गुणनफल

LCM(306, 657) = 22338

 

5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

हल:

यदि कोई संख्या 0 पर समाप्त होती है तो वह 2 और 5 से विभाजित होंगी। (जैसे 10)

6ⁿ का अभाज्य गुणनखंड = (2×3)ⁿ

6ⁿ के अभाज्य गुणनखंड मे 5 नहीं है। इसलिए 6ⁿ, 5 से विभाजित नहीं होंगी।

अतः किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती है।

 

6. व्याख्या कीजिए कि 7×11×13+13 और 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्याएँ क्यों है।

हल:

पहली संख्या = 7×11×13+13

= 13×(7×11×1+1)

= 13×(77+1)

= 13×78

= 13×13×6

इस संख्या के दो से अधिक गुणनखंड (1, 6, 13) है इसलिए यह एक भाज्य संख्या है। क्योंकि भाज्य संख्याओं के दो से अधिक गुणनखंड होते है।

दूसरी संख्या = 7×6×5×4×3×2×1+5

= 5×(7×6×4×3×2×1+1)

= 5×(1008+1)

= 5×1009

इस संख्या के दो से अधिक गुणनखंड (1, 5, 1009) है इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।

 

7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते है, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने मे रवि को 12 मिनट लगते है मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते है। कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे?

हल:

सोनिया को 18 मिनट लगते है जबकि रवि को 12 मिनट लगते है एक समय बाद दोनों अपने प्रारम्भिक स्थान पर होंगे वह समय 12 और 18 का LCM होगा।

18 = 2×3×3

12 = 2×2×3

LCM(18, 12) = 2×2×3×3 = 36

अतः, रवि और सोनिया 36 मिनट बाद पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे।

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