Class 10 NCRT दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise – 3.5 pdf || UP Board

 Pair of Linear Equations in Two Variables (दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म)
Exercise – 3.5

 

1. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों मे से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्र-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए।

(i) x – 3y – 3 = 0………………(1)

3x – 9y – 2 = 0………………(2)

यहाँ a1/a2 = 1/3, b1/b2 = -3/-9 = 1/3 और c1/c2 = -3/-2 = 3/2

a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 इसलिए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

 

(ii) 2x + y – 5 = 0…………..(1)

3x + 2y – 8 = 0………………(2)

यहाँ a1/a2 = 2/3, b1/b2 = ½ और c1/c2 = -5/-8

a1/a2 ≠ b1/b2 इसलिए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।

वज्र-गुणन विधि से,

x/2 = y/1 = 1/1

x/2 = 1/1 और y/1 = 1/1

x = 2 और y = 1

अतः x = 2, y = 1 है।

 

(iii) 3x – 5y – 20 = 0…………….(1)

6x – 10y – 40 = 0……………..(2)

यहाँ a1/a2 = 3/6 = 1/2, b1/b2 = -5/-10 = 1/2 और c1/c2 = -20/-40 =1/2

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 इसलिए समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल है।

 

(iv) x – 3y – 7 = 0…………(1)

3x – 3y – 15 = 0…………….(2)

यहाँ a1/a2 = 1/3, b1/b2 = -3/-3 = 1/1

a1/a2 ≠ b1/b2 इसलिए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।

वज्र-गुणन विधि से,

x/24 = y/-6 = 1/6

x/24 = 1/6 और y/-6 = 1/6

x = 24/6 = 4 और y = -6/6 = -1

अतः x = 4, y = -1 है।

 

2. (i) a और b के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?

2x + 3y = 7

(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2

हल:

2x + 3y – 7 = 0…………………..(1)

(a – b)x + (a + b)y – (3a + b – 2) = 0………………(2)

यहाँ a1/a2 = 2/(a - b), b1/b2 = 3/(a + b) और c1/c2 = -7/-(3a + b – 2) = 7/(3a + b – 2)

रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे, यदि

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

2/(a - b) = 3/(a + b) = 7/(3a + b – 2)

2/(a - b) = 3/(a + b) और 3/(a + b) = 7/(3a + b – 2)

2(a + b) = 3(a - b) और 3(3a + b – 2) = 7(a + b)

2a + 2b = 3a – 3b और 9a + 3b – 6 = 7a + 7b

a = 5b……..(3) और 2a = 4b + 6………(4)

'4)

) 4b + 6

- 3b)y = - 2

a' का मान समीकरण (4) में रखने पर,

2×5b = 4b + 6

10b = 4b + 6

6b = 6

b = 1

'b' का मान समीकरण (3) में रखने पर,

a = 5×1 = 5

अतः a = 5, b = 1 है।

 

(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों का कोई हल नहीं है?

3x + y = 1

(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1

हल:

3x + y – 1 = 0……………..(1)

(2k – 1)x + (k – 1)y – (2k + 1) = 0…………..(2)

यहाँ a1/a2 = 3/(2k - 1), b1/b2 = 1/(k - 1) और c1/c2 = -1/-(2k + 1) = 1/(2k + 1) रैखिक समीकरणों के युग्मों का कोई हल नहीं होगा, यदि

a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2

3/(2k - 1) = 1/(k - 1) ≠ 1/(2k + 1)

3/(2k - 1) = 1/(k - 1)

3(k - 1) = 1(2k - 1)

3k – 3 = 2k – 1

3k – 2k = 3 – 1

k = 2

अतः k = 2 है।

 

3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्र-गुणन विधियों से हल कीजिए। किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते है?

8x + 5y = 9; 3x + 2y = 4

हल:

8x + 5y = 9………………..(1)

3x + 2y = 4………………(2)

प्रतिस्थापन विधि से,

समीकरण (1) से,

y = (9 – 8x)/5 …………..(3)

'y' का मान समीकरण (2) में रखने पर,

3x + 2× (9 – 8x)/5 = 4

15x + 18 – 16x = 20

-x = 2

x = -2

'x' का मान समीकरण (1) में रखने पर,

8×-2 + 5y = 9

-16 + 5y = 9

5y = 25

y = 25

अतः x = -2, y = 5 है।

 

वज्र-गुणन विधि से,

x/-2 = y/5 = 1/1

x/-2 = 1/1 और y/5 = 1/1

x = -2 और y = 5

अतः x = -2, y = 5 है।

 

4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए:

i. एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹1000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए ₹1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल:

माना मासिक व्यय का नियत मूल्य = ₹x

और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य = ₹y

जब विद्यार्थी 20 दिन भोजन करता है, ₹1000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं इसलिए,

x + 26y = 1000

x + 26y – 1000 = 0 …………..(1)

जब विद्यार्थी 26 दिन भोजन करता है तो ₹1180 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं इसलिए,

x + 26y = 1180

x + 26y – 1180 = 0 …………….(2)

वज्र-गुणन विधि से,

x/(-23600 + 26000) = y/(-1000 + 1180) = 1/6

x/2400 = y/180 = 1/6

x/2400 = 1/6 और y/180 = 1/6

x = 2400/6 और y = 180/6

x = 400 और y = 30

अतः, मासिक व्यय का भाग नियत मूल्य ₹400 तथा प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ₹30 है।

 

ii. एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह ¼ हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल:

माना अंश = x

और हर = y

इसलिए भिन्न = x/y

पहली स्थिति के अनुसार,

(x – 1)/y = 1/3

3x – 3 = y

3x – y – 3 = 0 ……………(1)

दूसरी स्थिति के अनुसार,

x/(y + 8) = ¼

4x = y + 8

4x – y – 8 = 0 …………….(2)

वज्र-गुणन विधि से,

x/(8 – 3) = y/(-12 + 24) = 1/(-3 + 4)

x/5 = y/12 = 1/1

x/5 = 1/1 और y/12 = 1/1

x = 5 और y = 12

अतः, भिन्न = x/y = 5/12 है।

 

iii. यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने पश्न थे?

हल:

माना सही उत्तरों की संख्या = x

और अशुद्ध उत्तरों की संख्या = y

पहली स्थिति के अनुसार,

3x – y = 40

3x – y – 40 = 0 ………..(1)

दूसरी स्थिति के अनुसार,

4x – 2y = 50

4x – 2y – 50 = 0 ………….(2)

वज्र-गुणन विधि से,

x/( 50 – 80) = y/(-160 + 150) = 1/(-6 + 4)

x/(-30) = y/(-10) = 1/(-2)

x/(-30) = 1/(-2) और y/(-10) = 1/(-2)

x = 15 और y = 5

कुल प्रश्नों की संख्या = x + y = 15 + 5 = 20

अतः, टेस्ट में कुल प्रश्न 20 थी।

 

iv. एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दूरी पर है। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती है, तो वे 5 घंटे पश्चात मिलती हैं। यदि ये कारें विपरीत दिशा (एक दूसरें की ओर) में चलती हैं, तो वे 1 घंटे पश्चात मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

माना A से चलने वाली कार की चाल = x km/h

और B से चलने वाली कार की चाल = y km/h

पाँच घंटों बाद,

A से चलने वाली कार द्वारा चली गई दूरी = 5x km

B से चलने वाली कार द्वारा चली गई दूरी = 5y km


5x – 5y = 100
इसलिए
,

x  - y – 20 = 0 …………….(1)

यदि ये कारें एक दूसरे की ओर चलती हैं, तो वे 1 घंटे पश्चात मिलती हैं।

1 घंटों बाद,

A से चलने वाली कार द्वारा चली गई दूरी = x km

B से चलने वाली कार द्वारा चली गई दूरी = y km

100 km

 


इसलिए
,

x + y = 100

x + y – 100 = 0 …………..(2)

वज्र-गुणन विधि से,

x/(100 + 20) = y/(-20 + 100) = 1/2

x/120 = y/80 = 1/2

x/120 = 1/2 और y/80 = 1/2

x = 120/2 और y = 80/2

x = 60 और y = 40

अतः, A से चलने वाली कार की चाल = 60 km/h और B से चलने वाली कार की चाल = 40 km/h है।

 

v. एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता हैं, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएं ज्ञात कीजिए। 

हल:

माना आयत की लंबाई = x इकाई

और आयत की चौड़ाई = y इकाई

इसलिए आयत का क्षेत्रफल = xy वर्ग इकाई

यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है, तो क्षेत्रफल = (x – 5)(y + 3) वर्ग इकाई

प्रश्नानुसार,

(x – 5)(y + 3) = xy – 9

xy + 3x – 5y – 15 = xy – 9

3x – 5y – 6 = 0 …………..(1)

यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। इसलिए,

(x + 3)(y + 2) = xy + 67

xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67

2x + 3y – 61 = 0 …………..(2)

वज्र-गुणन विधि से,

x/(305 + 18) = y/(-12 + 183) = 1/(9 + 10)

x/323 = y/171 = 1/19

x/323 = 1/19 और y/171 = 1/19

x = 323/19 और y = 171/19

x = 17 और y = 9

अतः, आयत की लंबाई 17 इकाई तथा चौड़ाई 9 इकाई है।  se कथी/-= 5x + 2y = 4

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k + b – 1)y =