Class10 NCRT दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise – 3.4 pdf || UP Board

 Pair of Linear Equations in Two Variables (दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म)
Exercise – 3.4

 

1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?

(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4

हल:

x + y = 5…………….(1)

2x – 3y = 4……………….(2)

समीकरण (1) में 2 का गुणा करके समीकरण (2) घटाने पर,

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,

x + 6/5 = 5

x = 5 – (6/5)

x = 19/5

अतः x = 19/5 तथा y = 6/5 है।

 

(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2

हल:

3x + 4y = 10…………….(1)

2x – 2y = 2……………….(2)

समीकरण (2) में 2 का गुणा करके समीकरण (1) से जोड़ने पर,

x का मान समीकरण (2) में रखने पर,

4 – 2y = 2

4 - 2 = 2y

y = 2/2 = 1

अतः x = 2 तथा y = 1 है।

 

(iii) 3x - 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7

हल:

3x - 5y = 4…………….(1)

9x – 2y = 7……………….(2)

समीकरण (1) में 3 का गुणा करके समीकरण (2) घटाने पर,

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,

3x – 5×(-5/13) = 4

3x + 25/13 = 4

3x = 4 - 25/13

3x = 27/13

x = 9/13

अतः x = 9/13 तथा y = -5/13 है।

 

(iv) x/2 + 2y/3 = -1 और x – y/3 = 3

हल:

3x + 4y = -6…………….(1)

3x – y = 9……………….(2)

समीकरण (1) से समीकरण (2) घटाने पर,

y का मान समीकरण (2) में रखने पर,

3x – (-3) = 9

3x = 6

x = 6/3 = 2

अतः x = 2 तथा y = -3 है।

 

2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:

(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह ½ हो जाती है। वह भिन्न क्या है?

हल:

माना अंश = x

और हर = y

इसलिए भिन्न संख्या = x/y

पहली स्थिति के अनुसार,

x + 1 = y – 1

x – y = -2……………(1)

दूसरी स्थिति के अनुसार,

2x = y + 1

2x – y = 1…………………(2)

समीकरण (1) को 2 से गुणा करके समीकरण (2) घटाने पर,

y का मान समीकरण (2) में रखने पर,

2x – 5 = 1

2x = 6

x = 3

अतः भिन्न संख्या = x/y = 3/5  है।

 

(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नरी और सोनू की आयु कितनी है।

हल:

माना नूरी की वर्तमान आयु = x वर्ष

और सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष

पाँच वर्ष पूर्व,

नूरी की आयु = x - 5 वर्ष

सोनू की आयु = y - 5 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x – 5 = 3(y – 5)

x – 5 = 3y - 15

x – 3y = -10……………..(1)

दस वर्ष पश्चात,

नूरी की आयु = x + 10 वर्ष

सोनू की आयु = y + 10 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x + 10 = 2(y + 10)

x + 10 = 2y + 20

x – 2y = 10………………(2)

समीकरण (1) से समीकरण (2) घटाने पर,

y का मान समीकरण (2) में रखने पर,

x – 2×20 = 10

x = 50

अतः नूरी की वर्तमान आयु = 50 वर्ष और सोनू की वर्तमान आयु = 20 वर्ष है।

 

(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का 9 गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

माना इकाई का अंक = x

दहाई का अंक = y

इसलिए संख्या = 10y + x (y को 10 से गुणा इसलिए किया क्योंकि संख्या दो अंकों की है जैसेयदि y = 1, x = 0 तो संख्या 10 + 0 = 10 जो दो अंकों की है)

प्रश्नानुसार संख्या के अंकों का योग 9 है। इसलिए,

x + y = 9………….(1)

संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या = 10x + y

प्रश्नानुसार,

9(संख्या) = 2(पलटने से बनी संख्या)

9(10y + x) = 2(10x + y)

90y + 9x = 20x + 2y

11x – 88y = 0

x – 8y = 0…………………(2)

समीकरण (1) से समीकरण (2) घटाने पर,

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,

x + 1 = 9

x = 8

अतः संख्या = 10y + x = 10×1 + 8 = 18 है।

 

(iv) मीना ₹2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से ₹50 तथा ₹100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹50 और ₹100 के कितनेकितने नोट प्राप्त किए।

हल:

माना ₹50 के नोटों की संख्या = x

और ₹100 के नोटों की संख्या = y

नोटों की कुल संख्या 25 है इसलिए,

x + y = 25………….(1)

50 के नोटों और 100 के नोटों की कुल धनराशि = 2000 इसलिए,

50x + 100y = 2000

x + 2y = 40……………..(2)

समीकरण (1) से समीकरण (2) घटाने पर,

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,

x + 15 = 25

x = 10

अतः, ₹50 के नोटों की संख्या = 10 और 100 के नोटों की संख्या = 15 है।

 

(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के लिए ₹21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।

हल:

माना प्रथम तीन दिनों का नियत किराया = x

और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = y

सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 अदा किए इसलिए,

x + 4y = 27……………(1)

सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के लिए 21 अदा किए इसलिए,

x + 2y = 21……………..(2)

समीकरण (1) से समीकरण (2) घटाने पर,

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,

x + 4×3 = 27

x = 15

अतः, प्रथम तीन दिनों का नियत किराया = ₹15 और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = ₹3 है।


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