Class 10 NCRT दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise – 3.6 pdf || UP Board

 Pair of Linear Equations in Two Variables (दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म)
Exercise – 3.6

 

1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए।

माना, 1/x = a और 1/y = b …………(3)

समीकरण (1) से,

a/2 + b/3 = 2

3a + 2b = 12

समीकरण (2) से,

a/3 + b/2 = 13/6

2a + 3b = 13 ………….(5)

समीकरण (4) से a का मान रखने पर,

24 – 4b + 9b = 39

5b = 15

b = 3

b का मान समीकरण (5) मे रखने पर,

2a + 3×3 = 13

2a = 13 – 9

2a = 4

a = 2

समीकरण (3) से,

1/x = 2, 1/y = 3

x = ½, y = 1/3

अतः x = ½, y = 1/3 है।

 

माना, 1/√x = a और 1/√y = b …………(3)

समीकरण (1) से,

2a + 3b = 2

a = (2 – 3b)/2 ………………….(4)

समीकरण (2) से,

4a – 9b = -1 ………….(5)

समीकरण (4) से a का मान रखने पर,

4 – 6b - 9b = -1

-15b = -5

b = 1/3

b का मान समीकरण (5) मे रखने पर,

4a - 9×1/3 = -1

4a – 3 = -1

4a = 2

a = 1/2

समीकरण (3) से,

1/√x = 1/2, 1/√y = 1/3

√x = 2, √y = 3

x = 4, y = 9

अतः x = 4, y = 9 है।

 

माना, 1/x = a …………(3)

समीकरण (1) से,

4a + 3y = 14

समीकरण (2) से,

3a – 4y = 23 ………….(5)

समीकरण (4) से a का मान रखने पर,

42 – 9y – 16y = 92

-25y = 50

y = -2

y का मान समीकरण (5) मे रखने पर,

3a - 4×-2 = 23

3a = 23 - 8

3a = 15

a = 5

समीकरण (3) से,

1/x = 5

x = 1/5

अतः x = 1/5, y = -2 है।

 

माना, 1/(x-1) = a और 1/(y-2) = b …………(3)

समीकरण (1) से,

5a + b = 2

b = 2 – 5a………………….(4)

समीकरण (2) से,

6a – 3b = 1 ………….(5)

समीकरण (4) से b का मान रखने पर,

6a – 3(2 – 5a) = 1

6a – 6 + 15a = 1

21a = 7

a = 1/3

a का मान समीकरण (5) मे रखने पर,

6×1/3 – 3b = 1

2 = 3b + 1

1 = 3b

b = 1/3

समीकरण (3) से,

1/(x-1) = 1/3, 1/(y-2) = 1/3

x - 1 = 3, y - 2 = 3

अतः x = 4, y = 5 है।

 

माना, 1/x = a और 1/y = b …………(3)

समीकरण (1) से,

7b – 2a = 5

7b = 5 + 2a

समीकरण (2) से,

8b + 7a = 15 ………….(5)

समीकरण (4) से b का मान रखने पर,

40 + 16a + 49a = 105

65a = 65

a = 1

a का मान समीकरण (5) मे रखने पर,

8b + 7×1 = 15

8b = 15 – 7

8b = 8

b = 1

समीकरण (3) से,

1/x = 1, 1/y = 1

x = 1, y = 1

अतः x = 1, y = 1 है।

 

माना, 1/x = a और 1/y = b …………(3)

समीकरण (1) से,

6b + 3a = 6

6b = 6 - 3a

समीकरण (2) से,

2b + 4a = 5 ………….(5)

समीकरण (4) से b का मान रखने पर,

12 - 6a + 24a = 30

18a = 18

a = 1

a का मान समीकरण (5) मे रखने पर,

2b + 4×1 = 5

2b = 5 – 4

b = 1/2

समीकरण (3) से,

1/x = 1, 1/y = 1/2

x = 1, y = 2

अतः x = 1, y = 2 है।

 

माना, 1/(x+y) = a और 1/(x-y) = b …………(3)

समीकरण (1) से,

10a + 2b = 4

2b = 4 - 10a

समीकरण (2) से,

15a – 5b = -2 ………….(5)

समीकरण (4) से b का मान रखने पर,

30a – 20 + 50a = -4

80a = 16

a = 1/5

a का मान समीकरण (5) मे रखने पर,

15×1/5 – 5b = -2

-5b = -3 –2

-5b = -5

b = 1

समीकरण (3) से,

1/(x+y) = 1/5, 1/(x-y) = 1

x + y = 5…………..(6), x - y = 1……………(7)

समीकरण (6) और (7) को जोड़ने पर,

2x = 5 + 1

2x = 6

x = 3

समीकरण (6) से,

3 + y = 5

y = 5 – 3

y = 2

अतः x = 3, y = 2 है।

 

माना, 1/(3x+y) = a और 1/(3x-y) = b …………(3)

समीकरण (1) से,

a + b = 3/4

b = 3/4 - a

समीकरण (2) से,

a/2 – b/2 = -1/8 ………….(5)

समीकरण (4) से b का मान रखने पर,

4a - 3 + 4a = -1

8a = 2

a = 1/4

a का मान समीकरण (4) मे रखने पर,

समीकरण (3) से,

1/(3x+y) = 1/4, 1/(3x-y) = 1/2

3x+y = 4………..(6), 3x-y = 2………………(7)

समीकरण (6) और (7) को जोड़ने पर,

6x = 4 + 2

6x = 6

x = 1

समीकरण (6) से,

3×1 + y = 4

3 + y = 4

y = 1

अतः x = 1, y = 1 है।

 

2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए

(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

माना रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल = x km/h

और धारा की चाल = y km/h

तो, धारा के अनुकूल चाल = x + y km/h दूरी = 20 km समय = 2 घंटे

प्रश्नानुसार,

चाल = दूरी/समय

x + y = 20/2

x + y = 10

y = 10 – x ………….(1)

धारा के प्रतिकूल चाल = x – y km/h दूरी = 4 km समय = 2 घंटे

x – y = 4/2

x – y = 2

समीकरण (1) से y का मान रखने पर,

x – (10 – x) = 2

2x = 12

x = 6

x का मान समीकरण (1) में रखने पर,

y = 10 – 6 = 4

अतः, रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल 6 km/h और धारा की चाल 4 km/h है।

 

(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते है, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकता हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक महिमा कितना समय लेगी। पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा।

हल:

माना, एक महिला द्वारा कार्य को पूरा करने में लिए गए दिन = x

और एक पुरुष द्वारा कार्य को पूरा करने में लिए गए दिन = y

तो, एक पुरुष द्वारा एक दिन में किया गया कार्य = 1/x

एक महिला द्वारा एक दिन में किया गया कार्य = 1/y

पहली स्थिति के अनुसार,

दूसरी स्थिति के अनुसार,

माना, 1/x = a तथा 1/y = b …….(3)

समीकरण (1) से,

8a + 20b = 1

a = (1 – 20b)/8  ……………..(4)

समीकरण (2) से,

9a + 18b = 1 ………..(5)

समीकरण (4) से a का मान रखने पर,

9 – 180b + 144b = 8

-36b = -1

b = 1/36

b का मान समीकरण (5) में रखने पर,

9a + 18(1/36) = 1

9a + ½ = 1

18a + 1 = 2

a = 1/18

समीकरण (3) से,

1/x = 1/18, 1/y = 1/36

अतः एक महिला द्वारा कार्य को पूरा करने में 18 दिन लगेंगे तथा एक पुरुष द्वारा कार्य को पूरा करने में 36 दिन लगेंगे।

 

(iii) रूही 300 km दरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते है। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते है। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

माना, रेलगाड़ी की चाल = x km/h

और बस की चाल = y km/h

यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते है।

चाल = दूरी/समय

समय = दूरी/चाल

प्रश्नानुसार,

यदि वह 100 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 10 मिनट लगते है।

प्रश्नानुसार,

माना, 1/x = a तथा 1/y = b ……………(3)

समीकरण (1) से,

60a + 240b = 4

a = (4 – 240b)/60    ………………(4)

समीकरण (2) से,

100a + 200b = 25/6

समीकरण (4) से a का मान रखने पर,

40 – 2400b + 1200b = 25

-1200b = -15

b = 1/80

b का मान समीकरण (4) में रखने पर,

समीकरण (3) से,

1/x = 1/60, 1/y = 1/80

x = 60, y = 80

अतः, रेलगाड़ी की चाल 60 km/h और बस की चाल 80 km/h है।


Download Class 10  दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म  Exercise – 3.6 pdf