Class10 NCRT द्विघात समीकरण Exercise – 4.3 pdf || UP Board

 Quadratic Equations (द्विघात समीकरण)
Exercise – 4.3

 

1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

 

(i) 2x² – 7x + 3 = 0

2 से भाग करने पर,

x² – 7/2 x + 3/2 = 0

x² – 7/2 x = - 3/2

दोनों पक्षों मेंजोड़ने पर,

[a² + b² – 2ab = (a + b)²]

 

 अर्थात x – 7/4 = 5/4, x – 7/4 = -5/4

x = 7/4 + 5/4, x = 7/4 – 5/4

x = 12/4 = 3, x = 2/4 = 1/2

अतः, द्विघात समीकरणों के मूल 3 और 1/2 है।

 

(ii) 2x² + x - 4 = 0

2 से भाग करने पर,

x² + 1/2 x - 2 = 0

x² + 1/2 x = 2

दोनों पक्षों मेंजोड़ने पर,

अर्थात x + ¼ = √33/4, x + ¼ = -√33/4

x = (√33 – 1)/4, x = (-√33 – 1)/4

अतः, द्विघात समीकरणों के मूल (√33 – 1)/4 और (-√33 – 1)/4 है।

 

(iii) 4x² + 4√3 x + 3 = 0

4 से भाग करने पर,

x² + √3 x + 3/4 = 0

x² + √3 x = - 3/4

दोनों पक्षों मेंजोड़ने पर,

 अर्थात x = -√3/2

अतः, द्विघात समीकरणों के मूल -√3/2 और -√3/2 है।

 

(iv) 2x² + x + 4 = 0

2 से भाग करने पर,

x² + 1/2 x + 4 = 0

x² + 1/2 x = - 2

दोनों पक्षों मेंजोड़ने पर,

पर, हम जानते हैं कि x के किसी भी वास्तविक मान के लिए (x + 1/4)² ऋणात्मक नहीं हो सकता है इसलिए x का कोई वास्तविक मान दिये हुए समीकरण को संतुष्ट नहीं कर सकता। अतः दिये हुए समीकरण के मूल का अस्तित्व नहीं है।

 

2. उपर्युक्त पश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।

(i) 2x² – 7x + 3 =0

 2x² – 7x + 3 =0

सामान्य द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,

यहाँ a = 2, b = -7, c = 3 है

इसलिए b² – 4ac = (-7)² – 4 × 2 × 3 = 49 - 24 = 25 > 0 है।

तो,

या x = (7 + 5)/4, x = (7 – 5)/4

x = 12/4, x = 2/4

x = 3, x = ½

अतः, द्विघात समीकरणों के मूल 3 और ½ है।

 

(ii) 2x² + x – 4 = 0

2x² + x – 4 = 0, यहाँ a = 2, b = 1, c = -4 है।

इसलिए b² – 4ac = (1)² – 4 × 2 × -4 = 1 + 32 = 33 > 0 है।

अतः, द्विघात समीकरणों के मूल (√33 – 1)/4 और ( -√33 – 1)/4 है।

 

(iii) 4x² + 4√3 x + 3 = 0

 4x² + 4√3 x + 3 = 0, यहाँ a = 4, b = 4√3, c = 3 है।

इसलिए b² – 4ac = (4√3)² – 4 × 4 × 3 = 48 - 48 = 0 है।

तो,

या x = -(4√3)/8

x = -√3/2

अतः, द्विघात समीकरणों के मूल -√3/2 और -√3/2 है।

 

(iv) 2x² + x + 4 = 0

 2x² + x + 4 = 0, यहाँ a = 2, b = 1, c = 4 है।

इसलिए b² – 4ac = (1)² – 4 × 2 × 4 = 1 - 32 = -31 < 0 है।

पर, किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है, इसलिए का मान वास्तविक नहीं है।

अतः, दिये हुए समीकरण के मूल का अस्तित्व नहीं है।

 

3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:

 

(i) x – 1/x = 3, x ≠ 0

x² – 1 = 3x

x² – 3x – 1 = 0

x² – 3x – 1 = 0, यहाँ a = 1, b = -3, c = -1 है।

इसलिए b² – 4ac = (-3)² – 4 × 1 × -1 = 9 + 4 = 13 > 0 है।

तो,

या x = (3 + √13)/2, x = (3 - √13)/2

अतः, द्विघात समीकरणों के मूल (3 + √13)/2 और (3 - √13)/2 है।

 

x² – 3x – 28 = -30

x² – 3x + 2 = 0

x² – 3x + 2 = 0, यहाँ a = 1, b = -3, c = 2 है।

इसलिए b² – 4ac = (-3)² – 4 × 1 × 2 = 9 - 8 = 1 > 0 है।

तो,

या x = (3 + 1)/2, x = (3 – 1)/2

x = 4/2, x = 2/2

x = 2, x = 1

अतः, द्विघात समीकरणों के मूल 2 और 1 है।

 

4. 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम का योग 1/3 है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

माना रहमान की वर्तमान आयु = x वर्ष

इसलिए, 3 वर्ष पूर्व आयु = x – 3 वर्ष

इसलिए, 5 वर्ष बाद आयु = x + 5 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x² + 2x – 15 = 6x +6

x² – 4x – 21 = 0

x² – 4x – 21 = 0, यहाँ a = 1, b = -4, c = -21 है।

इसलिए b² – 4ac = (-4)² – 4 × 1 × -21 = 16 + 84 = 100 > 0 है।

तो,

या x = (4 + 10)/2, x = (4 – 10)/2

x = 14/2, x = -6/2

x = 7, x = -3

क्योंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः रहमान की वर्तमान आयु 7 वर्ष है।

 

5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली की गणित और अग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।

माना शेफाली के गणित में अंक = x

इसलिए, शेफाली के अंग्रेजी में अंक = 30 – x

यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो

गणित में अंक = x + 2

अंग्रेजी में अंक = 30 – x – 3

प्रश्नानुसार,

गुणनफल = (x + 2)(27 – x)

210 = (x + 2)(27 – x)

27x – x² + 54 – 2x = 210

– x² – 25x – 156 = 0

x² – 25x + 156 = 0

x² – 12x – 13x + 156 = 0

x(x – 12) – 13(x – 12) = 0

(x – 12)(x – 13) = 0

या x – 12 = 0, x – 13 = 0

x = 12, x = 13

यदि x = 12 हो तो, गणित में अंक = 12, अंग्रेजी में अंक = 30 – 12 = 18

यदि x = 13 हो तो, गणित में अंक = 13, अंग्रेजी में अंक = 30 – 3 = 17

 

6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी. अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी. अधिक हो, तो खेत की भुजाएं ज्ञात कीजिए।

माना छोटी भुजा = x m

इसलिए, विकर्ण = x + 60 m

और बड़ी भुजा = x + 30 m

प्रश्नानुसार,

(x + 60)² = x² + (x + 30)²

x² + 120x + 3600 = x² + x² + 60x + 900

-x² + 60x + 2700 = 0

x² – 60x – 2700 = 0

x² – 90x + 30x – 2700 = 0

x(x – 90) + 30(x – 90) = 0

(x – 90)(x + 30) = 0

x – 90 = 0, x + 30 = 0

x = 90, x = -30

लेकिन x ≠ -30, क्योंकि x खेत की भुजा है और यह ऋणात्मक नहीं होंगी।

अतः, x = 90

तो, छोटी भुजा = 90 m

और बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 m

 

7. दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संखयाएं ज्ञात कीजिए।

माना छोटी संख्या = y

और बड़ी संख्या = x

इसलिए,

y² = 8x

प्रश्नानुसार,

x² – y² = 180

x² – 8x = 180                [y² = 8x]

x² – 8x – 180 = 0

x² – 18x + 10x -180 = 0

x(x – 18) + 10(x – 18) = 0

(x – 18)(x + 10) = 0

x – 18 = 0, x + 10 = 0

x = 18, x = -10

लेकिन x ≠ -10, क्योंकि x बड़ी संख्या है और यह ऋणात्मक नहीं होंगी।

अतः, x = 18

तो, छोटी भुजा = y ⇒ y² = √8x

⇒ y = √8x

⇒ y = √8×18

⇒ y = √144

⇒ y = 12

और बड़ी भुजा = 18

 

8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से की 360 km दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल कीजिए।

माना रेलगाड़ी की चाल = x km/h

और तय दूरी = 360 km

इसलिए समय t₁ = 360/x घंटे   [ समय = दूरी/चाल ]

यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो समय t₂ = 360/(x + 5) घंटे

प्रश्नानुसार,

360x + 1800 – 360x = x(x + 5)

1800 = x² + 5x

x² + 5x – 1800 = 0

x² + 45x – 40x – 1800 = 0

x(x + 45) – 40(x + 45) = 0

(x + 45)(x – 40) = 0

x + 45 = 0, x – 40 = 0

x = -45, x = 40

लेकिन x ≠ -45, क्योंकि x रेलगाड़ी की चाल है और यह ऋणात्मक नहीं होंगी।

इसलिए, x = 40

अतः, रेलगाड़ी की चाल 40 km/h है।

 

9. दो पानी के नल एक साथ एक हौज कोघंटों में भर सकते है। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।

माना बड़े व्यास वाले नल द्वारा लिया गया समय = x घंटे

और छोटे व्यास वाले नल द्वारा लिया गया समय = x + 10 घंटे

इसलिए, बड़े व्यास वाले नल द्वारा 1 घंटे में भरा गया हौज = 1/x

और छोटे व्यास वाले नल द्वारा 1 घंटे में भरा गया हौज = 1/(x + 10)

प्रश्नानुसार,

75(2x + 10) = 8x(x + 10)

150x + 750 = 8x² + 80x

8x² – 70x – 750 = 0

4x² – 35x – 375 = 0

4x² – 60x + 25x – 375 = 0

4x(x – 60) + 25(x – 15) = 0

(x – 15)(x + 25) = 0

x – 15 = 0, x + 25 = 0

x = 15, x = -25

लेकिन x ≠ -25, क्योंकि x हौज को भरने का समय है और यह ऋणात्मक नहीं होंगी।

इसलिए, x = 15

अतः, बड़े व्यास वाले नल द्वारा लिया गया समय = 15 घंटे

और छोटे व्यास वाले नल द्वारा लिया गया समय = 15 + 10 घंटे

 

10. मैसूर और बैंगलोर के बीच की 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।

माना सवारी गाड़ी की औसत चाल = x km/h

इसलिए, एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल = x + 11 km/h

तय दूरी = 132 km

इसलिए, सवारी गाड़ी द्वारा लिया गया समय t₁ = 132/x घंटे  [ समय = दूरी/चाल ]

और एक्सप्रेस रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय t₂ = 132/(x + 11) घंटे

प्रश्नानुसार,

132x + 1452 – 132x = x(x + 11)

1452 = x² + 11x

x² + 11x – 1452 = 0

x² + 44x – 33x – 1452 = 0

x(x + 44) – 33(x + 44) = 0

(x + 44)(x – 33) = 0

x + 44 = 0, x – 33 = 0

x = - 44, x = 33

लेकिन x ≠ -44, क्योंकि x रेलगाड़ी की चाल है और यह ऋणात्मक नहीं होंगी।

इसलिए, x = 33

अतः, सवारी गाड़ी की औसत चाल = 33 km/h

और, एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल = 33 + 11 = 44 km/h

 

11. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m² है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24 m हों, तो दोनों वर्गों की भुजाएं ज्ञात कीजिए।

माना बड़े वर्ग की भुजा = x m

माना छोटे वर्ग की भुजा = y m

प्रश्नानुसार,

x² + y² = 468 ……………(i)

परिमापों का अंतर,

4x – 4y = 24

x – y = 6

x = 6 + y    ………………(ii)

समीकरण (i) में x का मान रखने पर,

(y + 6)² + y² = 468

y² + 12y + 36 + y² = 468

2y² + 12y – 432 = 0

y² + 6y – 216 = 0

y² +18y – 12y – 216 = 0

y(y + 18) – 12 (y + 18) = 0

(y + 18)(y – 12) = 0

y + 18 = 0, y – 12 =0

y = -18, y = 12

लेकिन x ≠ -18, क्योंकि x वर्ग की भुजा है और यह ऋणात्मक नहीं होंगी।

इसलिए, x = 12

अतः, छोटे वर्ग की भुजा = 12 m

समीकरण (ii) में y का मान रखने पर,

बड़े वर्ग की भुजा = x = y + 6 = 12 + 6 = 18 m

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