Class10 NCRT द्विघात समीकरण Exercise – 4.2 pdf || UP Board

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August 08, 2021 August 08, 2021

Quadratic Equations (द्विघात समीकरण)
Exercise – 4.2

1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:

(i) x² – 3x – 10 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

x² – 5x + 2x – 10 = 0

x(x – 5) + 2(x – 5) = 0

(x – 5)(x + 2) = 0

x – 5 = 0, x + 2 = 0

x = 5, x = -2

अतः, द्विघात समीकरण के मूल 5 और -2 है।

(ii) 2x² + x – 6 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

2x² – 4x + 3x – 6 = 0

2x(x – 4) + 3(x – 6) = 0

(x – 4) (2x + 3) = 0

x – 4 = 0, 2x + 3 = 0

x = 4, x = -3/2

अतः, द्विघात समीकरण के मूल 2 और -3/2 है।

(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

√2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0

x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0

(√2x + 5)(x + √2) = 0

√2x + 5 = 0, x + √2 = 0

x = -5/√2, x = -√2

अतः, द्विघात समीकरण के मूल -5/√2 और -√2 है।

(iv) 2x² – x + 1/8 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

16x² – 8x + 1 = 0

16x² – 4x – 4x + 1 = 0

4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0

(4x – 1) (4x – 1) =0

4x – 1 = 0, 4x – 1 = 0

x = ¼, x = ¼

अतः, द्विघात समीकरण के मूल ¼ और ¼ है।

(v) 100x² – 20x + 1 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

100x² – 10x – 10x + 1 = 0

10x(10x – 1) -1(10x – 1) = 0

(10x – 1)( 10x – 1) = 0

10x – 1 = 0, 10x – 1 = 0

x = 1/10, x = 1/10

अतः, द्विघात समीकरण के मूल 1/10 और 1/10 है।

2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए।

[उदाहरण में दी गई समस्याएं x² – 45x + 324 = 0 और x² – 55x + 750 = 0 हैं।]

x² – 45x + 324 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

x² – 36x – 9x + 324 = 0

x(x – 36) – 9(x – 36) = 0

(x – 36)(x – 9) = 0

x – 36 = 0, x – 9 = 0

x = 36, x = 9

अतः, जॉन और जीवंती के पास आरम्भ में 36 और 9 कंचे थे।

x² – 55x + 750 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

x² – 30x – 25x + 750 = 0

x(x – 30) – 25(x – 30) = 0

(x – 30)(x – 25) = 0

x = 30, x = 25

अतः, उस दिन निर्मित किये गए खिलौनों की संख्या 30 या 25 है।

3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।

माना पहली संख्या = x

इसलिए, दूसरी संख्या = 27 - x

प्रश्नानुसार,

गुणनफल = x(27 – x) = 182

27x – x² = 182

x² – 27x – 182 = 0

x² – 13x – 14x + 182 = 0

x(x – 13) – 14(x – 13) = 0

(x – 13)(x – 14) = 0

x - 13 = 0, x – 14 = 027 - x x = 251/10

x = 13, x = 14

अतः, संख्याएँ 13 और 14 है।

4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।

माना पहली संख्या = x

इसलिए, दूसरी संख्या = x + 1

प्रश्नानुसार,

गुणनफल = x² + (x + 1)² = 365

x² + x² + 2x + 1 = 365

2x² + 2x – 364 =0

x² + x – 182 = 0

x² – 13x + 14x - 182 = 0

x(x – 13) + 14(x – 13) = 0

x – 13 = 0, x + 14 = 0

x = 13, x = -14 या 14 [धनात्मक पूर्णांक]

अतः, दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक 13 और 14 है।

5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएं ज्ञात कीजिए।

माना आधार = x cm

इसलिए, ऊँचाई = x – 7 cm

दिया है, कर्ण = 13 cm

पाइथागोरस प्रमेय से,

x² + (x – 7)² = 13²

x² + x² – 14x + 49 = 169

2x² – 14x – 120 = 0

x² – 7x – 60 = 0

x² – 12x + 5x – 60 = 0

x(x – 12) + 5(x – 12) = 0

(x – 12)(x + 5) = 0

x – 12 = 0, x + 5 = 0

x = 0, x = -5

लेकिन x ≠ -5 [क्योंकि x त्रिभुज की भुजा है, भुजा नकारात्मक नहीं हो सकती।]

इसलिए, x = 12 और दूसरी भुजा(ऊँचाई) = x – 7 = 12 – 7 = 5

अतः, अन्य दो भुजाएं 12 cm और 5 cm है।

6. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।