Class10 NCRT द्विघात समीकरण Exercise – 4.2 pdf || UP Board

 Quadratic Equations (द्विघात समीकरण)
Exercise – 4.2

 

1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:

(i) x2 – 3x – 10 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

x2 – 5x + 2x – 10 = 0

x(x – 5) + 2(x – 5) = 0

(x – 5)(x  + 2) = 0

x – 5 = 0, x + 2 = 0

x = 5, x = -2

अतः, द्विघात समीकरण के मूल 5 और -2 है।

 

(ii) 2x2 + x – 6 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

2x2 – 4x + 3x – 6 = 0

2x(x – 4) + 3(x – 6) = 0

(x – 4) (2x + 3) = 0

x – 4 = 0, 2x + 3 = 0

x = 4, x = -3/2

अतः, द्विघात समीकरण के मूल 2 और -3/2 है।

 

(iii) √2x2 + 7x + 5√2 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

√2x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0

x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0

(√2x + 5)(x + √2) = 0

√2x + 5 = 0, x + √2 = 0

x = -5/√2, x = -√2

अतः, द्विघात समीकरण के मूल -5/2 और -√2 है।

 

(iv) 2x2 – x + 1/8 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

16x2 – 8x + 1 = 0

16x2 – 4x – 4x + 1 = 0

4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0

(4x – 1) (4x – 1) =0

4x – 1 = 0, 4x – 1 = 0

x = ¼, x = ¼

अतः, द्विघात समीकरण के मूल ¼ और ¼ है।

 

(v) 100x2 – 20x + 1 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

100x2 – 10x – 10x + 1 = 0

10x(10x – 1) -1(10x – 1) = 0

(10x – 1)( 10x – 1) = 0

10x – 1 = 0, 10x – 1 = 0

x = 1/10, x = 1/10

अतः, द्विघात समीकरण के मूल 1/10 और 1/10 है।

 

2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए।

[उदाहरण में दी गई समस्याएं x2 – 45x + 324 = 0 और x2 – 55x + 750 = 0 हैं।]

x2 – 45x + 324 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

x2 – 36x – 9x + 324 = 0

x(x – 36) – 9(x – 36) = 0

(x – 36)(x – 9) = 0

x – 36 = 0, x – 9 = 0

x = 36, x = 9

अतः, जॉन और जीवंती के पास आरम्भ में 36 और 9 कंचे थे।

x2 – 55x + 750 = 0

द्विघात समीकरण को सरल करने पर,

x2 – 30x – 25x + 750 = 0

x(x – 30) – 25(x – 30) = 0

(x – 30)(x – 25) = 0

x = 30, x = 25

अतः, उस दिन निर्मित किये गए खिलौनों की संख्या 30 या 25 है।

 

3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।

 

माना पहली संख्या = x

इसलिए, दूसरी संख्या = 27 - x

प्रश्नानुसार,

गुणनफल = x(27 – x) = 182

27x – x2 = 182

x2 – 27x – 182 = 0

x2 – 13x – 14x + 182 = 0

x(x – 13) – 14(x – 13) = 0

(x – 13)(x – 14) = 0

x - 13 = 0, x – 14 = 027 - x x = 251/10

x = 13, x = 14

अतः, संख्याएँ 13 और 14 है।

 

4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।

 

माना पहली संख्या = x

इसलिए, दूसरी संख्या = x + 1

प्रश्नानुसार,

गुणनफल = x2 + (x + 1)2 = 365

x2 + x2 + 2x + 1 = 365

2x2 + 2x – 364 =0

x2 + x – 182 = 0

x2 – 13x + 14x - 182 = 0

x(x – 13) + 14(x – 13) = 0

x – 13 = 0, x + 14 = 0

x = 13, x = -14 या 14 [धनात्मक पूर्णांक]

अतः, दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक 13 और 14 है।

 

5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएं ज्ञात कीजिए।

 

माना आधार = x cm

इसलिए, ऊँचाई = x – 7 cm

दिया है, कर्ण = 13 cm

पाइथागोरस प्रमेय से,

x2 + (x – 7)2 = 132

x2 + x2 – 14x + 49 = 169

2x2 – 14x – 120 = 0

x2 – 7x – 60 = 0

x2 – 12x + 5x – 60 = 0

x(x – 12) + 5(x – 12) = 0

(x – 12)(x + 5) = 0

x – 12 = 0, x + 5 = 0

x = 0, x = -5

लेकिन x ≠ -5 [क्योंकि x त्रिभुज की भुजा है, भुजा नकारात्मक नहीं हो सकती।]

इसलिए, x = 12 और दूसरी भुजा(ऊँचाई) = x – 7 = 12 – 7 = 5

अतः, अन्य दो भुजाएं 12 cm और 5 cm है।

6. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नग की निर्माण लागत (में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।

 

माना बर्तनों की संख्या = x

इसलिए, एक नग की लागत = 2x + 3

प्रश्नानुसार,

कुल निर्माण लागत = x(2x + 3) = 90

2x2 + 3x = 90

2x2 + 3x – 90 = 0

2x2 + 15x – 12x – 90 = 0

x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0

(2x + 15)(x – 6) = 0

2x + 15 = 0, x – 6 =0

x = -15/2, x = 6

लेकिन x ≠ -15/2 [क्योंकि x बर्तनों की संख्या है।]

इसलिए x = 6

तो, प्रत्येक नग की लागत = 2x + 3 = 2×6 + 3 = 15

अतः, निर्मित बर्तनों की संख्या 6 और प्रत्येक नग की लागत ₹15 है।

 

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