Class10 NCRT द्विघात समीकरण Exercise – 4.2 pdf || UP Board
Quadratic
Equations (द्विघात समीकरण)
Exercise
– 4.2
1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i) x2 – 3x – 10 = 0
द्विघात समीकरण को सरल करने पर,
x2 – 5x + 2x – 10 = 0
x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
(x – 5)(x + 2)
= 0
x – 5 = 0, x + 2 = 0
x = 5, x = -2
अतः, द्विघात समीकरण के मूल 5 और -2 है।
(ii) 2x2 + x – 6 = 0
द्विघात समीकरण को सरल करने पर,
2x2 – 4x + 3x – 6 = 0
2x(x – 4) + 3(x – 6) = 0
(x – 4) (2x + 3) = 0
x – 4 = 0, 2x + 3 = 0
x = 4, x = -3/2
अतः, द्विघात समीकरण के मूल 2 और -3/2 है।
(iii) √2x2 + 7x + 5√2 = 0
द्विघात समीकरण को सरल करने पर,
√2x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0
x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0
(√2x + 5)(x + √2) = 0
√2x + 5 = 0, x + √2 = 0
x = -5/√2, x = -√2
अतः, द्विघात समीकरण के मूल -5/√2 और -√2 है।
(iv) 2x2 – x + 1/8 = 0
द्विघात समीकरण को सरल करने पर,
16x2 – 8x + 1 = 0
16x2 – 4x – 4x + 1 = 0
4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0
(4x – 1) (4x – 1) =0
4x – 1 = 0, 4x – 1 = 0
x = ¼, x = ¼
अतः, द्विघात समीकरण के मूल ¼ और ¼ है।
(v) 100x2 – 20x + 1 = 0
द्विघात समीकरण को सरल करने पर,
100x2 – 10x – 10x + 1 = 0
10x(10x – 1) -1(10x – 1) = 0
(10x – 1)( 10x – 1) = 0
10x – 1 = 0, 10x – 1 = 0
x = 1/10, x = 1/10
अतः, द्विघात समीकरण के मूल 1/10 और 1/10 है।
2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए।
[उदाहरण में दी गई समस्याएं x2 – 45x + 324 = 0 और x2 – 55x + 750 = 0 हैं।]
x2 – 45x + 324 = 0
द्विघात समीकरण को सरल करने पर,
x2 – 36x – 9x + 324 = 0
x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
(x – 36)(x – 9) = 0
x – 36 = 0, x – 9 = 0
x = 36, x = 9
अतः, जॉन और जीवंती के पास आरम्भ में 36 और 9 कंचे थे।
x2 – 55x + 750 = 0
द्विघात समीकरण को सरल करने पर,
x2 – 30x – 25x + 750 = 0
x(x – 30) – 25(x – 30) = 0
(x – 30)(x – 25) = 0
x = 30, x = 25
अतः, उस दिन
निर्मित
किये
गए
खिलौनों
की
संख्या
30
या
25
है।
3. ऐसी
दो
संख्याएँ
ज्ञात
कीजिए,
जिनका
योग
27 हो
और
गुणनफल
182 हो।
माना पहली
संख्या
= x
इसलिए, दूसरी
संख्या
= 27 - x
प्रश्नानुसार,
गुणनफल = x(27 – x) = 182
27x – x2
= 182
x2
– 27x – 182 = 0
x2
– 13x – 14x + 182 = 0
x(x – 13)
– 14(x – 13) = 0
(x – 13)(x
– 14) = 0
x - 13 =
0, x – 14 = 0
x = 13, x
= 14
अतः, संख्याएँ 13
और
14
है।
4. दो
क्रमागत
धनात्मक
पूर्णांक
ज्ञात
कीजिए
जिनके
वर्गों
का
योग
365 हो।
माना पहली
संख्या
= x
इसलिए, दूसरी
संख्या
= x + 1
प्रश्नानुसार,
गुणनफल = x2 + (x + 1)2 = 365
x2
+ x2 + 2x + 1 = 365
2x2
+ 2x – 364 =0
x2
+ x – 182 = 0
x2
– 13x + 14x - 182 = 0
x(x – 13)
+ 14(x – 13) = 0
x – 13 =
0, x + 14 = 0
x = 13, x
= -14 या
14 [धनात्मक
पूर्णांक]
अतः, दो
क्रमागत
धनात्मक
पूर्णांक
13
और
14
है।
5. एक
समकोण
त्रिभुज
की
ऊँचाई
इसके
आधार
से
7 cm कम
है।
यदि
कर्ण
13 cm का
हो,
तो
अन्य
दो
भुजाएं
ज्ञात
कीजिए।
माना आधार
= x cm
इसलिए, ऊँचाई
= x – 7 cm
दिया है,
कर्ण
= 13 cm
पाइथागोरस प्रमेय
से,
x2
+ (x – 7)2 = 132
x2
+ x2 – 14x + 49 = 169
2x2
– 14x – 120 = 0
x2
– 7x – 60 = 0
x2
– 12x + 5x – 60 = 0
x(x – 12)
+ 5(x – 12) = 0
(x – 12)(x
+ 5) = 0
x – 12 =
0, x + 5 = 0
x = 0, x =
-5
लेकिन x
≠ -5 [क्योंकि x त्रिभुज
की
भुजा
है,
भुजा
नकारात्मक
नहीं
हो
सकती।]
इसलिए, x = 12 और
दूसरी
भुजा(ऊँचाई)
= x – 7 = 12 – 7 = 5
अतः, अन्य दो भुजाएं 12 cm और 5 cm है।
6. एक
कुटीर
उद्योग
एक
दिन
में
कुछ
बर्तनों
का
निर्माण
करता
है।
एक
विशेष
दिन
यह
देखा
गया
की
प्रत्येक
नग
की
निर्माण
लागत
(₹में)
उस
दिन
के
निर्माण
किए
बर्तनों
की
संख्या
के
दुगुने
से
3 अधिक
थी।
यदि
उस
दिन
की
कुल
निर्माण
लागत
₹90 थी,
तो
निर्मित
बर्तनों
की
संख्या
और
प्रत्येक
नग
की
लागत
ज्ञात
कीजिए।
माना बर्तनों
की
संख्या
= x
इसलिए, एक
नग
की
लागत
= 2x + 3
प्रश्नानुसार,
कुल निर्माण लागत
= x(2x + 3) = 90
2x2
+ 3x = 90
2x2
+ 3x – 90 = 0
2x2
+ 15x – 12x – 90 = 0
x(2x + 15)
– 6(2x + 15) = 0
(2x +
15)(x – 6) = 0
2x + 15 =
0, x – 6 =0
x = -15/2,
x = 6
लेकिन x
≠ -15/2 [क्योंकि x बर्तनों
की
संख्या
है।]
इसलिए x
= 6
तो, प्रत्येक नग
की
लागत
= 2x + 3 = 2×6 + 3 = 15
अतः, निर्मित बर्तनों
की
संख्या
6
और
प्रत्येक
नग
की
लागत
₹15
है।
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