Class10 NCRT द्विघात समीकरण Exercise – 4.4 pdf || UP Board

 Quadratic Equations (द्विघात समीकरण)
Exercise – 4.4

 

1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हे ज्ञात कीजिए।

 

(i) 2x² – 3x + 5 = 0

दिया गया समीकरण ax² + bx + c = 0 के प्रकार का है, यहाँ a = 2, b = -3 और c = 5 है।

इसलिए, b² – 4ac = (-3)² – 4 × 2 × 5 = 9 – 40 = - 31 < 0

अतः कोई वास्तविक मूल अस्तित्व में नहीं है।

 

(ii) 3x² - 4√3 x + 4 = 0

दिया गया समीकरण ax² + bx + c = 0 के प्रकार का है, यहाँ a = 3, b = -4√3 और c = 4 है।

इसलिए, b² – 4ac = (-4√3)² – 4 × 3 × 4 = 48 – 48 = 0

अतः दिए गए समीकरण के वास्तविक और बराबर मूल है।

या x = (2√3)/3, x = (2√3)/3

अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल (2√3)/3 और (2√3)/3 है।

 

(iii) 2x² – 6x + 3 = 0

दिया गया समीकरण ax² + bx + c = 0 के प्रकार का है, यहाँ  a = 2, b = -6 और c =3 है।

इसलिए, b² – 4ac = (-6)² – 4 × 2 × 3 = 36 – 24 = 12 > 0

अतः दिए गए समीकरण के वास्तविक और विभिन्न मूल है।

या x = (3 + √3)/2, x = (3 - √3)/2

अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल (3 + √3)/2 और (3 - √3)/2 है।

 

2.निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।

(i) 2x² + kx + 3 = 0

दिया गया समीकरण ax² + bx + c = 0 के प्रकार का है, यहाँ a = 2, b = k और c = 3 है।

इसलिए, b² – 4ac = (k)² – 4 × 2 × 3 = k² – 24

क्योंकि समीकरण के दोनों मूल बराबर हैं, अतः k² – 24 = 0

k² = 24

k = ±√24

k = ±2√6

 

(ii) kx(x – 2) + 6 = 0

kx² – 2kx + 6 = 0

दिया गया समीकरण ax² + bx + c = 0 के प्रकार का है, यहाँ a = k, b = -2k और c = 6 है।

इसलिए, b² – 4ac = (-2k)² – 4 × k × 6 = 4k² – 24k

क्योंकि समीकरण के दोनों मूल बराबर हैं, अतः 4k² – 24k = 0

4k(k – 6) = 0

4k = 0, (k – 6) = 0

k = 0, k = 6

लेकिन k ≠ 0 क्योंकि यह समीकरण kx(x – 2) + 6 = 0 को संतुष्ट नहीं करता हैं।

अतः, k = 6

 

3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m² हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

 

माना बगिया की चौड़ाई = x m

इसलिए, बगिया की लंबाई = 2x m

और क्षेत्रफल = x × 2x = 2x²

प्रश्नानुसार,

2x² = 800

x² = 400

x = ±20

क्योंकि बगिया की चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः बगिया की चौड़ाई = 20 m

और बगिया की लंबाई = 2 × 20 = 40 m

 

4. क्या निम्न स्थिति संभव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।

 

माना पहले मित्र की आयु = x वर्ष

इसलिए, दूसरे मित्र की आयु = 20 – x वर्ष

चार वर्ष पूर्व पहले मित्र की आयु = x – 4 वर्ष

इसलिए, चार वर्ष पूर्व दूसरे मित्र की आयु = 20 – x – 4 = 16 – x वर्ष

प्रश्नानुसार,

(x – 4)(16 – x) = 48

16x – x² – 64 + 4x = 48

x² – 20x + 112 = 0

समीकरण ax² + bx + c = 0 के प्रकार का है, यहाँ a = 1, b = -20 और c = 112 है।

इसलिए, b² – 4ac = (-20)² – 4 × 1 × 112 = 400 – 448 = -48 < 0

अतः कोई वास्तविक मूल अस्तित्व में नहीं है।

इसलिए, यह स्थिति संभव नहीं है।

 

5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षत्रफल 400 m² के एक पार्क को बनाना संभव है? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

 

माना पार्क की लंबाई = x

परिमाप = 80 m

इसलिए, पार्क की चौड़ाई =  40 – x         

[क्योंकि परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई)

80 = 2(x + चौड़ाई)

x + चौड़ाई = 40

चौड़ाई = 40 – x]

प्रश्नानुसार,

क्षेत्रफल =  x(40 – x) = 400

40x – x² = 400

x² – 40x + 400 = 0

x² – 20x – 20x + 400 = 0

x (x – 20) -20(x – 20) = 0

(x – 20)(x – 20) = 0

या (x – 20)² = 0

(x – 20) = 0

x = 20

अतः, पार्क की लंबाई =  20 m

इसलिए, पार्क की चौड़ाई =  40 – x = 40 – 20 = 20 m

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