Class10 NCRT द्विघात समीकरण Exercise – 4.1 pdf || UP Board

 Quadratic Equations (द्विघात समीकरण)
Exercise – 4.1

 

1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:

(i) (x + 1)2 = 2(x – 3)

समीकरण को सरल करने पर,

(x + 1)2 = 2(x – 3)

x2 + 2x + 1 = 2x – 6

x2 + 7 = 0

अर्थात x2 + 0x + 7 = 0

यह समीकरण ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का है।

अतः, दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण है।

 

(ii) x2 – 2x = (-2)(3 – x)

समीकरण को सरल करने पर,

x2 – 2x = (-2)(3 - x)

x2 – 2x = -6 + 2x

x2 – 4x + 6 = 0

अर्थात x2 – 4x + 6 = 0

यह समीकरण ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का है।

अतः, दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण है।

 

(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)

समीकरण को सरल करने पर,

(x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)

x2 – 2x + x – 2 = x2 – x + 3x – 3

-3x + 1 = 0

अर्थात 3x – 1 = 0

यह समीकरण ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का नहीं है।

अतः, दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

 

(iv) (x – 3)(2x + 1) = x(x + 5)

समीकरण को सरल करने पर,

2x2 – 6x + x – 3 = x2 + 5x

x2 – 10x – 3 = 0

अर्थात x2 +(-10)x + (-3) = 0

यह समीकरण ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का है।

अतः, दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण है।

 

(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)

समीकरण को सरल करने पर,

2x2 – x – 6x + 3 = x2 + 5x – x – 5

x2 – 11x + 8 = 0

यह समीकरण ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का है।

अतः, दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण है।

 

(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2

समीकरण को सरल करने पर,

x2 + 3x + 1 = x2 – 4x + 4

7x – 3 =0

यह समीकरण ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का नहीं है।

अतः, दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

 

(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 – 1)

समीकरण को सरल करने पर,

x3 + 6x2 + 12x + 8 = 2x3 – 2x

-x3 + 6x2 + 14x + 8 = 0

अर्थात x3 – 6x2 – 14x – 8 = 0

यह समीकरण ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का नहीं है।

अतः, दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

 

(viii) x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3

समीकरण को सरल करने पर,

x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 6x2 + 12x – 8

2x2 – 13x + 9 = 0

2x2 + (– 13)x + 9 = 0

यह समीकरण ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का है।

अतः, दिया हुआ समीकरण द्विघात समीकरण है।

 

2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए:

(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m2 है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।

हल:

माना भूखंड की चौड़ाई = x m

इसलिए, भूखंड की लंबाई = 2x + 1 m

अतः, क्षेत्रफल = x(2x + 1) m2

प्रश्नानुसार,

x(2x + 1) = 528

2x2 + x = 528

2x2 + x – 528 = 0

अतः, भूखंड की लंबाई और चौड़ाई कों द्विघात समीकरण 2x2 + x – 528 = 0 निरूपित करता है।

 

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है।

माना पहला पूर्णाक = x

इसलिए, दूसरा पूर्णाक = x + 1

अतः, गुणनफल = x(x + 1)

प्रश्नानुसार,

x(x + 1) = 306

x2 + x = 306

x2 + x – 306 = 0

अतः, दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों कों द्विघात समीकरण x2 + x – 306 = 0 निरूपित करता है।

 

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।

माना रोहन की आयु = x वर्ष

इसलिए, रोहन की माँ की आयु = x + 26 वर्ष

तीन वर्ष पश्चात,

माना रोहन की आयु = x + 3 वर्ष

इसलिए, रोहन की माँ की आयु = x + 29 वर्ष

अतः, आयु का गुणनफल = (x + 3)(x + 29) वर्ष

प्रश्नानुसार,

(x + 3)(x + 29) = 360

x2 + 3x + 29x + 87 = 360

x2 + 32x – 273 = 0

अतः, रोहन की वर्तमान आयु कों द्विघात समीकरण x2 + 32x – 273 = 0 निरूपित करता है।

 

(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/m कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

माना रेलगाड़ी की चाल = x km/h

कुल दूरी = 480 km

इसलिए, रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = 480/x घंटे

यदि इसकी चाल 8 km/m कम होती, तो लिया गया समय = 480/(x – 8) घंटे

प्रश्नानुसार,

480x – 480x + 3640 = 3(x – 8)x

3640 = 3x2 – 24x

3x2 – 24x – 3640 = 0

अतः, रेलगाड़ी की चाल कों द्विघात समीकरण 3x2 – 24x – 3640 = 0 निरूपित करता है।

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