Class10 NCRT दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise – 3.7* pdf || UP Board

 Pair of Linear Equations in Two Variables (दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म)
Exercise – 3.7*

 

1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है। अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है। कैथी और धरम की आयु का अंतर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।


माना अनी की वर्तमान आयु = x वर्ष

और बीजू की वर्तमान आयु = y वर्ष

प्रश्नानुसार,

x = y + 3 ……(1)             [यदि अनी, बीजू से बड़ा है।]

y = x + 3 ……….(2)           [यदि बीजू, अनी से बड़ा है।]

अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी है।

इसलिए पिता धरम की आयु = 2x वर्ष

बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है।

इसलिए कैथी की आयु = y/2 वर्ष

प्रश्नानुसार,

2x y/2 = 30 ……………..(3)

समीकरण (1) से x का मान रखने पर,

2(y + 3) – y/2 = 30

4y + 12 – y = 60

3y = 48

y = 16

अतः अनी की वर्तमान आयु 19 वर्ष और बीजू की वर्तमान आयु 16 वर्ष है।

 

दूसरी स्थिति के अनुसार,

जब बीजू, अनी से बड़ा है,

समीकरण (2) से y का मान समीकरण (3) में रखने पर,

2x – (x + 3)/2 = 30

4x – x – 3 = 60

3x = 63

x = 21

समीकरण (2) में x का मान रखने पर,

y = 21 + 3 = 24

अतः अनी की वर्तमान आयु 21 वर्ष और बीजू की वर्तमान आयु 24 वर्ष है।

 

2. एक मित्र दूसरे मित्र से कहता है कियदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा दूसरा उत्तर देता हैयदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा बताइए कि उनकी क्रमशः क्या संपत्तियाँ हैं?

[ संकेत: x + 100 = 2(y – 100), y + 10 = 6(x – 10)]

माना पहले मित्र के पास रूपये = ₹x

और दूसरे मित्र के पास रूपये = ₹y

पहली स्थिति के अनुसार,

x + 100 = 2(y – 100)

x = 2y – 300 ………….(1)

दूसरी स्थिति के अनुसार,

y + 10 = 6(x – 10)

y – 6x = -70

समीकरण (1) से x का मान रखने पर,

y – 6(2y – 300) = -70

y – 12y + 1800 = -70

-11y = -1870

y = 170

समीकरण (2) में y का मान रखने पर,

x = 2(170) – 300 = 40

अतः एक मित्र के पास 170 रूपये तथा दूसरे के पास 40 रूपये हैं।

 

3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गयी दूरी ज्ञात कीजिए।

माना रेलगाड़ी की समान चाल = x km/h

और नियत दूरी = y km

इसलिए नियत समय = y/x घंटे

पहली स्थिति के अनुसार,

यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते है।

y/(x + 10) = y/x – 2

रैखिक समीकरण युग्म

दूसरी स्थिति के अनुसार,

यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते है।

समीकरण (1) से y का मान रखने पर,

x2 = 50x

x = 50

समीकरण (1) में x का मान रखने पर,

 

y = 1/5 (2500 + 500)

y = 1/5 (3000)

y = 600

अतः रेलगाड़ी द्वारा तय की गयी दूरी 600 km है।

 

4. एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विधार्थी अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनती। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माना पंक्तियों की संख्या = x

और एक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या = y

इसलिए, कक्षा के कुल विद्यार्थियों की संख्या = xy

पहली स्थिति के अनुसार,

यदि पंक्ति में 3 अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती।

(x – 1)(y + 3) = xy

xy + 3x – y – 3 = xy

y = 3x – 3 …………………(1)

दूसरी स्थिति के अनुसार,

यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनती।

(x + 2)(y – 3) = xy

xy – 3x + 2y – 6 = xy

-3x + 2y = 6

समीकरण (1) से y का मान रखने पर,

-3x + 2(3x – 3) = 6

-3x + 6x – 6 = 6

3x = 12

x = 4

समीकरण (1) में x का मान रखने पर,

y = 3×4 – 3 = 9

कक्षा के कुल विद्यार्थियों की संख्या = xy = 4×9 = 36

 

5. एक ABC में, तेज C = 3B = 2(A + B) है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।

माना A = x और B = y

इसलिए,

C = 3y                       [C = 3B]

3B = 2(A + B)

3y = 2(x + y)

y = 2x …………(1)

ABC में,

A + B + C = 180°

x + y + 3y = 180°

x + 4y = 180°

समीकरण (1) से y का मान रखने पर,

x + 4(2x) = 180°

9x = 180°

x = 20°

समीकरण (1) में x का मान रखने पर,

y = 2(20°) = 40°

अतः A = 20°, B = 40°, C = 120° है।

 

6. समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और y अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।

5x – y = 5 …………..(1)

3x – y = 3 …………..(2)

प्रत्येक समीकरण के तीन हल के लिए,

समीकरण (1) से,

y = 5x – 5

x

0

1

2

y

-5

0

5

 

समीकरण (2) से,

x

0

1

2

y

-3

0

3


इन रेखाओं और y अक्ष से बने ∆ABC के शीर्षों के निर्देशांक A(1, 0), B(0, -3) तथा C(0, -5) है।

ABC का क्षेत्रफल

=1/2 × BC × OA

= ½ × 2 × 1 = 1

अतःABC का क्षेत्रफल 1 वर्ग मात्रक है।

 

7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए:

(i) px + qy = p – q ………….(1)

qx – py = p + q    …………..(2)

समीकरण (2) को p से तथा समीकरण (1) को q से गुणा करके घटाने पर,

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,

px + q(-1) = p – q    px = p 

x = 1

अतः x = 1 तथा y = -1 है।

 

(ii) ax + by = c ………(1)

bx + ay = 1 + c ……….(2)

समीकरण (2) को a से तथा समीकरण (1) को b से गुणा करके घटाने पर,

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,

 

(iii) x/a – y/b = 0 …………(1)

ax + by = a2 + b2 ………..(2)

समीकरण (1) से,

x = ay/b

समीकरण (2) में x का मान रखने पर,

a(ay/b) + by = a2 + b2

a2y + b2y = a2b + b3

y(a2 + b2) = b(a2 + b2)

y = b

y का मान समीकरण (3) में रखने पर,

x = (a×b)/b = a

अतः x = a तथा y = b है।

 

(iv) (a – b)x + (a + b)y = a2 – 2ab – b2 ……..(1)

(a + b)(x + y) = a2 + b2

x(a + b) + (a + b)y = a2 + b2 ………(2)

समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाने पर,

x का मान समीकरण (1) में रखने पर,

(a – b)(a + b) + (a + b)y = a2 – 2ab – b2

a2 – b2 + (a + b)y = a2 – 2ab – b2

 (a + b)y = – 2ab

y = -2ab/(a + b)

अतः x = a + b तथा y = -2ab/(a + b) है।

 

(v) 152x – 378y = -74 …………..(1)

-378x + 152y = -604 …………..(2)

समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाने पर,

x – y = 1

x = 1 + y ……………(3)

x का मान समीकरण (1) में रखने पर,

152(1 + y) – 378y = -74

152 + 152y – 378y = -74

-226y = -226

y = 1

y का मान समीकरण (3) में रखने पर,

x = 1 + 1 = 2

अतः x = 2 तथा y = 1 है।

 

8. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है (देखिए आकृति) इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

हल:

चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते है।

इसलिए,

A + ∠C = 180° ……………(1)

∠B + ∠D = 180° ………………(2)

समीकरण (1) से,

4y + 20 – 4x = 180

y – x = 40

y = 40 + x ………………(3)

समीकरण (2) से,

3y – 5 – 7x + 5 = 180

3y – 7x = 180

समीकरण (3) से y का मान रखने पर,

3(40 + x) – 7x = 180

120 + 3x – 7x = 180

-4x = 60

x = -15

x का मान समीकरण (3) में रखने पर,

y = 40 + (-15)

y = 25

अतः, ∠A = 4y + 20 = 4(25) + 20 = 120°

∠B = 3y – 5 = 3(25) – 5 = 70°

∠C = -4x = -4(-15) = 60°

∠D = -7x + 5 = -7(-15) + 5 = 110° 


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