Class10 NCRT समांतर श्रेणी Exercise – 5.1 pdf || UP Board

 Arithmetic Progressions (समांतर श्रेणी)
Exercise – 5.1

 

1. निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों?

(i) प्रत्येक किलो मीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया ₹15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया ₹8 है।

 

1 किलोमीटर के लिए किराया a₁ =  ₹15

2 किलोमीटर के लिए किराया a₂ =  ₹(15 + 8) = ₹23

3 किलोमीटर के लिए किराया a₃ =  ₹(23 + 8) = ₹31

4 किलोमीटर के लिए किराया a₄ =  ₹(31 + 8) = ₹39

a₂ – a₁ = 23 – 15 = 8

a₃ – a₂ = 31 – 23 = 8

a₄ – a₃ = 39 – 31 = 8

क्रमागत पदों का अंतर समान है, अतः संख्याओं की सूची A.P. है। ra.hmetic Progressions

 

(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकलने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का ¼ भाग बाहर निकाल देता है।

 

माना, बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा a₁ =  x

पहली बार हवा निकालने के बाद बेलन में शेष हवा a₂ = x –  ¼ x = ¾ x

दूसरी बार हवा निकालने के बाद बेलन में शेष हवा a₃ = ¾ x – ¼(¾ x) = 9/16 x

तीसरी बार हवा निकालने के बाद बेलन में शेष हवा a₄ = 

क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है, अतः संख्याओं की सूची A.P. नहीं है।

 

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹50 बढ़ती जाती है। 

 

1 मीटर खुदाई की लागत a₁ =  ₹150

2 मीटर खुदाई की लागत a₂ =  ₹(150 + 50) = ₹200

3 मीटर खुदाई की लागत a₃ =  ₹(200 + 50) = ₹250

4 मीटर खुदाई की लागत a₄ =  ₹(250 + 50) = ₹300

a₂ – a₁ = 200 – 150 = 50

a₃ – a₂ = 250 – 200 = 50

a₄ – a₃ = 300 – 250 = 50

क्रमागत पदों का अंतर समान है, अतः संख्याओं की सूची A.P. है।

 

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।

 

दर = 8% वर्षिक, मूलधन a₁ = ₹10000

1 वर्ष बाद मिश्रधन a₂ = ₹10000(1 + 8/100)¹ = ₹ 10800

2 वर्ष बाद मिश्रधन a₃ = ₹10800(1 + 8/100)² = ₹ 10800(108/100)²

⇒ ₹12597

3 वर्ष बाद मिश्रधन a₃ = ₹12597(1 + 8/100)³ = ₹10800(108/100)³

⇒ ₹15869

a₂ – a₁ = ₹10800 – ₹10000 = ₹800

a₃ – a₂ = ₹12597 – ₹10800 = ₹1797

a₄ – a₃ = ₹15869 – ₹12597 = ₹3272

क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है, अतः संख्याओं की सूची A.P. नहीं है।

 

2. दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित है:

(i) a = 10, d = 10

 

पहला पद a₁ = a = 10

दूसरी पद a₂ = a₁ + d = 10 + 10 = 20

तीसरा पद a₃ = a₂ + d = 20 + 10 = 30

चौथा पद a₄ = a₃ + d = 30 + 10 = 40

 

(ii) a = -2, d = 0

 

पहला पद a₁ = a = -2

दूसरी पद a₂ = a₁ + d = -2 + 0 = -2

तीसरा पद a₃ = a₂ + d = -2 + 0 = -2

चौथा पद a₄ = a₃ + d = -2 + 0 = -2

 

(iii) a = 4, d = -3

 

पहला पद a₁ = a = 4

दूसरी पद a₂ = a₁ + d = 4 – 3 = 1

तीसरा पद a₃ = a₂ + d = 1 – 3 = -2

चौथा पद a₄ = a₃ + d = -2 – 3 = -5

 

(iv) a = -1, d = ½

 

पहला पद a₁ = a = -1

दूसरी पद a₂ = a₁ + d = -1 + ½  = - ½ 

तीसरा पद a₃ = a₂ + d = - ½  + ½ = 0

चौथा पद a₄ = a₃ + d = 0 + ½ = ½

 

(v) a = -1.25, d = -0.25

 

पहला पद a₁ = a = -1.25

दूसरी पद a₂ = a₁ + d = -1.25 – 0.25 = -1.50

तीसरा पद a₃ = a₂ + d = -1.50 – 0.25 = -1.75

चौथा पद a₄ = a₃ + d = -1.75 – 0.25 = -2.00

 

3. निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए:

 

(i) 3, 1, -1, -3,……

प्रथम पद a = 3

सार्व अंतर d = a₂ - a₁ = 1 – 3 = -2

 

(ii) -5, -1, 3, 7, ……

प्रथम पद a = -5

सार्व अंतर d = a₂ - a₁ = -1 – (-5) = -1 + 5 = 4

 

(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3,……

प्रथम पद a = 1/3

सार्व अंतर d = a₂ - a₁ = 5/3 – 1/3 = 4/3

 

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ……

प्रथम पद a = 0.6

सार्व अंतर d = a₂ - a₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1

 

4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. है? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए।

 

(i) 2, 4, 8, 16,……

a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2

a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4

a₄ – a₃ = 16 – 8 = 8

क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है, अतः संख्याओं की सूची A.P. नहीं है।

 

(ii) 2, 5/2, 3, 7/2,……

a₂ – a₁ = 5/2 – 2 = ½

a₃ – a₂ = 3 – 5/2 = ½

a₄ – a₃ = 7/2 – 3 = ½

क्रमागत पदों का अंतर समान है, अतः संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर d =  ½, इस A.P. के तीन और पद निम्न है-

पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = 7/2 + ½ = 4

छटा पद a₆ = a₅ + d = 4 + ½ = 9/2

सातवाँ पद a₇ = a₆ + d = 9/2 + ½ = 10/2 = 5

 

(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2,…….

a₂ – a₁ = -3.2 – (-1.2) = -2.0

a₃ – a₂ = -5.2 – (-3.2) = -2.0

a₄ – a₃ = -7.2 – (-5.2) = -2.0

क्रमागत पदों का अंतर समान है, अतः संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर d =  -2.0, इस A.P. के तीन और पद निम्न है-

पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = -7.2 – 2.0 = -9.2

छटा पद a₆ = a₅ + d = -9.2 – 2.0 = -11.2

सातवाँ पद a₇ = a₆ + d = -11.2 – 2.0 = -13.2

 

(iv) -10, -6, -2, 2,…….

a₂ – a₁ = -6 – (-10) = 4

a₃ – a₂ = -2 – (-6) = 4

a₄ – a₃ = 2 – (-2) = 4

क्रमागत पदों का अंतर समान है, अतः संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर d =  4, इस A.P. के तीन और पद निम्न है-

पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = 2 + 4 = 6

छटा पद a₆ = a₅ + d = 6 + 4 = 10

सातवाँ पद a₇ = a₆ + d = 10 + 4 = 14

 

(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2, …….

a₂ – a₁ = (3 + √2) – 3 = √2

a₃ – a₂ = (3 + 2√2) – (3 + √2) = √2

a₄ – a₃ = (3 + 3√2) – (3 + 2√2) = √2

क्रमागत पदों का अंतर समान है, अतः संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर d =  √2, इस A.P. के तीन और पद निम्न है-

पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = (3 + 3√2) + √2 = 3 + 4√2

छटा पद a₆ = a₅ + d = (3 + 4√2) + √2  = 3 + 5√2

सातवाँ पद a₇ = a₆ + d = (3 + 5√2) + √2 = 3 + 6√2

 

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ………

a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02

a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002

a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002

क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है, अतः संख्याओं की सूची A.P. नहीं है।

 

(vii) 0, -4, -8, -12,…….

a₂ – a₁ = -4 – 0 = -4

a₃ – a₂ = -8 – (-4) = -8 + 4 = - 4

a₄ – a₃ = -12 – (-8) = -12 + 8 = - 4

क्रमागत पदों का अंतर समान है, अतः संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर d =  - 4, इस A.P. के तीन और पद निम्न है-

पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = -12 - 4 = -16

छटा पद a₆ = a₅ + d = -16 - 4 = -20

सातवाँ पद a₇ = a₆ + d = -20 - 4 = -24

 

क्रमागत पदों का अंतर समान है, अतः संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर d =  0, इस A.P. के तीन और पद निम्न है-

(ix) 1, 3, 9, 27,……

a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2

a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6

a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18

क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है, अतः संख्याओं की सूची A.P. नहीं है।

 

(x) a, 2a, 3a, 4a, …….

a₂ – a₁ = 2a – a = a

a₃ – a₂ = 3a – 2a = a

a₄ – a₃ = 4a – 3a = a

क्रमागत पदों का अंतर समान है, अतः संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर d =  a, इस A.P. के तीन और पद निम्न है-

पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = 4a + a = 5a

छटा पद a₆ = a₅ + d = 5a + a = 6a

सातवाँ पद a₇ = a₆ + d = 6a + a = 7a

 

(xi) a, a², a³, a⁴,……..

a₂ – a₁ = a² – a

a₃ – a₂ = a³ – a²

a₄ – a₃ = a⁴ – a³ 

क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है, अतः संख्याओं की सूची A.P. नहीं है।

 

(xii) √2, √8, √18, √32,…….

a₂ – a₁ = √8 – √2 = 2√2 - √2 = √2

a₃ – a₂ = √18 - √8 = 3√2 - 2√2 = √2

a₄ – a₃ = √32 - √18 = 4√2 - 3√2 = √2

क्रमागत पदों का अंतर समान है, अतः संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर d =  √2, इस A.P. के तीन और पद निम्न है-

पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = √32 + √2 = 4√2 + √2 = 5√2 = √(25×2) = √50

छटा पद a₆ = a₅ + d = 5√2 + √2  = 6√2 = √(36×2) = √72

सातवाँ पद a₇ = a₆ + d = 6√2 + √2 = 7√2 = √(49×2) =√98

 

(xiii) √3, √6, √9, √12,…….

a₂ – a₁ = √6 – √3 

a₃ – a₂ = √9 – √6 = 3 - √6

a₄ – a₃ = √12 – √9 = 2√3 - 3

क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है, अतः संख्याओं की सूची A.P. नहीं है।

 

(xiv) 1², 3², 5², 7²,……….

a₂ – a₁ = 3² – 1² = 9 – 1 = 8

a₃ – a₂ = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

a₄ – a₃ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24

क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है, अतः संख्याओं की सूची A.P. नहीं है।

 

(xv) 1², 5², 7², 73,………

a₂ – a₁ = 5² – 1² = 25 – 1 = 24

a₃ – a₂ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24

a₄ – a₃ = 73 – 7² = 73 – 49 = 24

क्रमागत पदों का अंतर समान है, अतः संख्याओं की सूची A.P. है।

सार्व अंतर d =  24, इस A.P. के तीन और पद निम्न है-

पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = 73 + 24 = 97

छटा पद a₆ = a₅ + d = 97 + 24 = 121

सातवाँ पद a₇ = a₆ + d = 121 + 24 = 145

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