Class10 NCRT त्रिभुज Exercise – 6.2 pdf || UP Board

 Triangles (त्रिभुज)
Exercise – 6.2

 

1. आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए:

 

(i)

माना EC = x cm

दिया है, ABC में, DE BC इसलिए,

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

AD/DB = AC/EC

1.5/3 = 1/x

x = (3 × 1)/1.5

x = 3/1.5 = 30/15 = 2

अतः, EC = 2 है।

 

(ii)

माना AD = x cm

दिया हैΔABC में, DE BC इसलिए,

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

AD/DB = AC/EC

x/7.2 = 1.8/5.4

x = (1.8 × 7.2)/5.4

x = 12.96/5.4 = 2.4

अतः, AD = 2.4 है।

 

2. किसी ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थिर हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF QR हैं:


(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm

दिया है, PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm इसलिए

PE/EQ = 3.9/3 = 1.3

PF/FR = 3.6/2.4 = 1.5

क्योंकि PE/EQ ≠ PF/FR अतः EF और QR समांतर नहीं है।


(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm
और RF = 9 cm

दिया है, PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm इसलिए

PE/EQ = 4/4.5 = 40/45 = 8/9

PF/FR = 8/9

क्योंकि PE/EQ = PF/FR अतः, आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से, EF और QR समांतर है।

 

(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm

दिया है, PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm इसलिए

EQ = PQ – PE = 1.28 – 0.18 = 1.10 cm 

FR = PR – PF = 2.56 – 0.36 = 2.20 cm

PE/EQ = 0.18/1.10 = 18/110 = 9/55

PF/FR = 0.36/2.20 = 36/220 = 9/55

क्योंकि PE/EQ = PF/FR अतः, आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम (प्रमेय 6.2) से, EF और QR समांतर है।

 

3. आकृति 6.18 में, यदि LM CB और LN CD हो तो सिद्ध कीजिए कि AM/AB = AN/AD है।

दिया हैΔABC में, LM CB इसलिए,

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

AM/AB = AN/AD              …………….(1)

इसीप्रकार

ΔADC  में, LN CD  इसलिए,

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

AN/AD = AL/AC            ……………….(2)

समीकरण (1) और (2) से

AM/AB = AN/AD

 

4. आकृति 6.19 में, DE AC और DF AE है। सिद्ध कीजिए कि BF/FE = BE/EC है।

दिया हैΔABC में, DE AC इसलिए,

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

BD/DA = BE/EC              …………….(1)

इसीप्रकार

ΔABC  में, DF AE  इसलिए,

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

BD/DA = BF/FE            ……………….(2)

समीकरण (1) और (2) से

BF/FE = BE/EC

 

5. आकृति 6.20  में, DE OQ  और DF OR है। दर्शाइए कि EF QR है।

दिया हैΔPOQ में, DE OQ इसलिए,

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

PE/EQ = PD/DO              …………….(1)

इसीप्रकार

ΔPOR  में, DF OR  इसलिए,

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

PF/FR = PD/DO            ……………….(2)

समीकरण (1) और (2) से

PE/EQ = PF/FR

ΔPOR में,

PE/EQ = PF/FR

इसलिए,

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से,

EF QR

 

6. आकृति 6.21 में, क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिंदु A, B और C इस प्रकार है कि AB PQ और AC PR है। दर्शाइए कि BC QR है।

दिया हैΔPOQ में, AB PQ इसलिए,

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

OA/AP = OB/BQ              …………….(1)

इसीप्रकार

ΔPOR  में, AC PR  इसलिए,

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,                                              

OA/AP = OC/CR            ……………….(2)

समीकरण (1) और (2) से

OB/BQ = OC/CR

ΔOQR में,

OB/BQ = OC/CR

इसलिए,

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से,

BC QR

 

7. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (प्रमेय 6.1) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक भुजा के मध्य बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

माना PQ, ΔABC की भुजा AB के मध्य-बिंदु P से होकर, दूसरी भुजा BC के समांतर खींची गई रेखा है। अर्थात PQ BC इसलिए,

ΔABC में, आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से

AP/PB = AQ/QC

AP/AP = AQ/QC  [AP = PB]

AQ = QC

अर्थात Q भुजा AC का मध्य बिंदु है।

 

8. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम (प्रमेय 6.2) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

माना PQ, ΔABC की भुजा AB के मध्य-बिंदु P तथा दूसरी भुजा AC के मध्य-बिंदु Q से होकर जाने वाली रेखा है। इसलिए AP = PB और AQ = QC

AP/PB = 1,   AQ/QC = 1

अर्थात

AP/PB = AQ/QC = 1

अब ΔABC में,

AP/PB = AQ/QC

अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से,

PQ BC

 9. ABCD एक समलंब है जिसमें AB  DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि AO/BO = CO/DO है।

O से होती हुई तथा CD के समांतर एक रेखा EF खींची, ताकि EF CD हो।

ΔADC में, EO CD

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

AE/ED = AO/OC ……….(1)

इसीप्रकार

ΔABD में, EO AB

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

AE/ED = BO/OD ………….(2)

समीकरण (1) और (2) से,

AO/OC = BO/OD

AO/BO = CO/DO

 

10. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते है कि AO/BO = CO/DO है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।

चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते है। O से होती हुई तथा AB के समांतर एक रेखा EO खींची। ताकि EO AB हो।

ΔABD में, EO AB

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

AE/ED = BO/OD              ……………(1)

परंतु दिया है

AO/BO = CO/DO

AO/CO = BO/DO         ……………….(2)

समीकरण (1) और (2) से,

AE/ED = AO/OC

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से,

EO DC

AB OE DC

AB CD

अतः ABCD एक समलंब है।


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