Class10 NCRT समांतर श्रेणी Exercise – 5.2 pdf || UP Board

 Arithmetic Progressions (समांतर श्रेणी)
Exercise – 5.2

 

1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ AP का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद an है:

 

a

d

n

an

(i)

7

3

8

(ii)

-18

10

0

(iii)

-3

18

-5

(iv)

-18.9

2.5

3.6

(v)

3.5

0

105

 

(i) ...9यहाँ, a = 7, d = 3 तथा n = 8 है, इसलिए an = a + (n – 1)d में मान रखने पर,

an = 7 + (8 – 1)3

an = 7 + 21 = 28

 

(ii) ...9यहाँ, a = -18, n = 10 तथा an = 0 है, इसलिए an = a + (n – 1)d में मान रखने पर,

0 = -18 + (10 – 1)d

18 = 9d

d = 2

 

(iii) ...9यहाँ, d = -3, n = 18 तथा an = -5 है, इसलिए an = a + (n – 1)d में मान रखने पर,

-5 = a + (18 – 1)×-3

-5 = a + 17×-3

-5 = a – 51

a = 51 – 5 = 46

 

(iv) ...9यहाँ, a = -18.9, d = 2.5 तथा an = 3.6 है, इसलिए an = a + (n – 1)d में मान रखने पर,

3.6 = -18.9 + (n – 1)(2.5)

3.6 = -18.9 + 2.5n – 2.5

2.5n = 3.6 + 21.4

2.5n  = 25.0

n = 10

 

(v) ...9यहाँ, a = 3.5, d = 0 तथा n = 105 है, इसलिए an = a + (n – 1)d में मान रखने पर,

an = 3.5 + (105 – 1)0

an = 3.5 + 0 = 3.5

 

2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:

(i) A.P.: 10, 7, 4, ……, का 30वाँ पद है:

(A) 97                  (B) 77                    (C) -77               (D) -87

यहाँ a = 10, d = 7 – 10 = - 3 तथा n = 30 है,

इसलिए an = a + (n – 1)d मे मान रखने पर,

a30 = 10 + (30 – 1)×-3

a30 = 10 – 87 = -77

अतः, विकल्प (C) सही है।

 

(ii) A.P.: -3, -½, 2, ……, का 11वाँ पद है:

(A) 28                  (B) 22                    (C) -38               (D) -48½ 

यहाँ a = -3, d = - ½ – (-3) = 5/2 तथा n = 11 है,

इसलिए an = a + (n – 1)d मे मान रखने पर,

a11 = -3 + (11 – 1)×5/2

a11 = -3 + 25 = 22

अतः, विकल्प (B) सही है।

 

3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में, रिक्त खानों   के पदों को ज्ञात कीजिए:

(i) 2, _, 26

दिया है, a = 2 तथा a3 = 26 है,

a2 को ज्ञात करना है

a3 = a + (3 – 1)d = 26 [दिया है]

2 + 2d = 26

d = 12

इसलिए a2 = a + (2 – 1)d = 2 + 12 = 14

 

(ii) _, 13, _, 3

दिया है, a2 = 13  तथा a4 = 3 है,

a1 तथा a3 को ज्ञात करना है

a2 = a + (2 – 1)d = 13  [दिया है]

a + d = 13

a = 13 – d  …………(1)

तथा a4 = 3

a + (4 – 1)d = 3

a + 3d = 3

समीकरण (1) में a का मान रखने पर,

13 – d + 3d = 3

13 + 2d = 3

d = -5

समीकरण (1) में का मान रखने पर,

a = 13 – (-5)

a = 13 + 5

a = 18

इसलिए a1 = 18 तथा a3 = a + (3 – 1)d = 18 + 2(-5) = 8

 

(iii) 5, _, _, 9 ½

दिया है, a = 5  तथा a4 = 9 ½ है,

a2 तथा a3 को ज्ञात करना है

a4 = a + (4 – 1)d = 9 ½ [दिया है]

5 + 3d = 19/2

3d = 19/2 – 5

3d = 9/2

d = 3/2

इसलिए a2 = a + d = 5 + 3/2 =  6 ½ तथा a3 = a + 2d = 5 + 2(3/2) = 8

 

(iv) -4,_, _, _, _, 6

दिया है, a = - 4 तथा a6 = 6 है,

a2, a3, a4 तथा a5 को ज्ञात करना है

a6 = a + (6 – 1)d = 6  [दिया है]

-4 + 5d = 6

5d = 10

d = 2

इसलिए a2 = a + d = -4 + 2 = -2

a3 = a + 2d = -4 + 2×2 = 0

a4 = a + 3d = -4 + 3×2 = 2

a5 = a + 4d = -4 + 4×2 = 4

 

(v) _, 38, _, _, _, 22

दिया है, a2 = 38 तथा a6 = -22 है,

a1, a3, a4 तथा a5 को ज्ञात करना है

a2 = a + (2 – 1)d = 38  [दिया है]

a + d = 38

a = 38 – d  …………(1)

तथा a6 = -22

a + 5d = -22

समीकरण (1) में a का मान रखने पर,

38  - d + 5d = -22

38 + 4d = -22

d = -15

समीकरण (1) में का मान रखने पर,

a = 38 – (-15) = 53

इसलिए a1 = a = 53

a3 = a + 2d = 53 + 2×-15 = 23

a4 = a + 3d = 53 + 2×-15 = 8

a5 = a + 4d = 53 + 2×-15 = -7

 

4. A.P.: 3, 8, 13, 18, … का कौन सा पद 78 है?

दिया है a = 3 तथा d = 8 – 3 = 5 है,

माना A.P. का nवाँ पद 78 है।

इसलिए, an = 78

a + (n – 1)d = 78

3 + (n – 1)5 = 78

(n – 1)5 = 75

n – 1 = 15

n  = 16

अतः, A.P.: 3, 8, 13, 18, … का 16वाँ पद 78 है।

 

5. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद है?

 

(i) 7, 13, 19, …, 205

यहाँ a = 7 तथा d = 13 – 7 = 6 है

माना समांतर श्रेढ़ी में n पद है।

इसलिए an = 205

a + (n – 1)d = 205

7 + (n – 1)6 = 205

(n – 1)6 = 198

n – 1 = 33

n  = 34

अतः, समांतर श्रेढ़ी में 34 पद है।

 

(ii) 18, 15 ½ , 13, …… , -47

यहाँ a = 18 तथा d = 15 ½ - 18 = -5/2 है

माना समांतर श्रेढ़ी में n पद है।

इसलिए an = -47

a + (n – 1)d = -47

18 + (n – 1)(-5/2) = -47

(n – 1)(-5/2) = -65

n – 1 = 26

n = 27

अतः, समांतर श्रेढ़ी में 27 पद है।

 

6. क्या A.P.: 11, 8, 5, 2, … का एक पद -150 है? क्यों?

 

यहाँ a = 11 तथा d = 8 – 11 = -3 है

माना A.P. का nवाँ पद -150 है।

इसलिए an = -150

a + (n – 1)d = -150

11 + (n – 1)×-3 = -150

11 – 3n + 3 = -150

-3n = -164

n = 164/3 =  

यहाँ n एक पूर्णांक संख्या नहीं हैं। अतः, -150, A.P.: 11, 8, 5, 2, … का पद नहीं है।

 

7. उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

 

दिया है, a11 = 38  तथा a16 = 73 है,

a31 को ज्ञात करना है

a11 = a + (11 – 1)d = 38  [दिया है]

a + 10d = 38

a = 38 – 10d          ……………(1)

तथा a16 = 73

a + 15d = 73

समीकरण (1) में a का मान रखने पर,

38 – 10d + 15d = 73

5d = 35

d = 7

समीकरण (1) में का मान रखने पर,

a = 38 – 10×7 = -32

इसलिए a31 = a + 30d = -32 + 30×7 = 178

अतः,A.P का 31वाँ पद 178 है।

 

8. एक A.P. में 50 पद है, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

 

दिया है, a3 = 12 तथा a50 = 106 है,

a29 को ज्ञात करना है

a3 = a + (3 – 1)d = 12  [दिया है]

a + 2d = 12

a = 12 – 2d   …………(1)

तथा a50 = 106

a + 49d = 106

समीकरण (1) में a का मान रखने पर,

12 – 2d + 49d = 106

47d = 94

d = 2

समीकरण (1) में का मान रखने पर,

a = 12 – 2×2 = 8

इसलिए a29 = a + 28d = 8 + 28×2 = 64

अतः, A.P. का 29वाँ पद 64 है।

 

9. यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 है, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?

 

दिया है, a3 = 4 तथा a9 = -8 है,

n को ज्ञात करना है: जहाँ an = 0

a3 = a + (3 – 1)d = 4   [दिया है]

a + 2d = 4

a = 4 – 2d  …………(1)

तथा a9 = -8

a + 8d = -8

समीकरण (1) में a का मान रखने पर,

4 – 2d + 8d = -8

6d  = - 12

d = -2

समीकरण (1) में का मान रखने पर,

a = 4 – 2×-2 = 8

इसलिए an = 0 में मान रखने पर,

an = a + (n – 1)d = 0

8 + (n – 1)×-2 = 0

n – 1 = 4

n = 5

अतः, A.P.  का 5वाँ पद शून्य है।

 

10. किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

 

माना पहला पद = a तथा सार्व अंतर = d

प्रश्नानुसार,

a17 = a10 + 7

a + 16d = a + 9d + 7

7d = 7

d = a

अतः इस A.P. का सार्व अंतर 1 है।

 

11. A.P.: 3, 15, 27, 39, … का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

पहला पद = 3 तथा सार्व अंतर = 15 – 3 = 12

माना इस A.P का nवाँ पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा।

प्रश्नानुसार,

an = a54 + 132

a + (n – 1)d = a + 53d + 132

(n – 1)12 = 53×12 + 132

(n – 1)12 = 768

n – 1 = 768/12 = 64

n = 65

अतः, इस A.P. का 65वाँ पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा।

 

12. दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

 

माना पहली समांतर श्रेणी का पहला पद = A तथा सार्व अंतर = d

और दूसरी समांतर श्रेणी का पहला पद = a तथा सार्व अंतर = d

इनके 100वें पदों का अंतर = A100 – a100 = 100

(A + 99d) – (a + 99d) = 100

A – a = 100

इनके 1000वें पदों का अंतर = A1000 – a1000

(A + 999d) – (a + 999d)

A – a

100        [ A – a = 100]

अतः, इन A.P. के 1000वें पदों का अंतर 100 होगा।

 

13. तीन अंकों वाली कितनी संखयाएं 7 से विभाज्य हैं?

 

तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संखयाएं: 105, 112, 119, … , 994

माना तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य कुल संखयाएं n हैं।

दिया है, a = 105 तथा d = 112 – 105 = 7 है,

n को ज्ञात करना है: जहाँ an = 994

an = a + (n – 1)d = 994   [दिया है]

105 + (n – 1)7 = 994

7(n – 1) = 889

n – 1 = 889/7

n = 128

अतः, तीन अंकों वाली 128 संखयाएं 7 से विभाज्य हैं।

 

14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

 

10 और 250 के बीच में 4 के गुणज: 12, 16, 20, … , 248

माना 10 और 250 के बीच में 4 के कुल n गुणज है।

दिया है, a = 12  तथा d = 16 – 12 = 4 है,

n को ज्ञात करना है: जहाँ an = 248

an = a + (n – 1)d = 248   [दिया है]

12 + (n – 1)4 = 248

4(n – 1) = 236

n – 1 = 236/4

n – 1 = 59

n = 60

अतः, 10 और 250 के बीच में 4 के 60 गुणज है।

 

15. n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63, 65, 67, … और 3, 10, 17, …  के nवें पद बराबर होंगे?

 

पहली समांतर श्रेणी का पहला पद = A = 63 तथा सार्व अंतर = D = 65 – 63 = 2

इसलिए An = A + (n – 1)D

An = 63 + (n – 1)2

दूसरी समांतर श्रेणी का पहला पद = a = 3 तथा सार्व अंतर = d = 10 – 3 = 7

इसलिए, an = a + (n – 1)d

an = 3 + (n – 1)7

प्रश्नानुसार,

An = an

63 + (n – 1)2 = 3 + (n – 1)7

63 + 2n – 2 = 3 + 7n – 7

65 = 5n

n = 13

अतः, दोनों समांतर श्रेढ़ियों के 13वें पद बराबर होंगे।

 

16. वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

 

माना समांतर श्रेणी का पहला पद = a तथा सार्व अंतर = d

तीसरा पद = 16

a3 = 16

a + 2d = 16   ………(1)

7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है। इसलिए,

a7 = a5 + 12

a + 6d = a + 4d + 12

2d = 12

d = 6

समीकरण (1) में d का मान रखने पर,

a + 2×6 = 16

a = 4

अतः, A.P. = a, a + d, a + 2d, …….. = 4, 10, 16, ……

 

17. A.P.: 3, 8, 13, … , 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

 

3, 8, 13, … , 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद = 253, … , 13, 8, 3 में आरंभ से 20वाँ पद

A.P.: 253, … , 13, 8, 3 में, पहला पद = 253 तथा सार्व अंतर = 3 – 8 = -5

इसलिए, a20 = a + 19d

a20 = 253 + 19×-5 = 253 – 95 = 158

 

18. किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

 

माना A.P. का पहला पद = a तथा सार्व अंतर = d

पहली शर्त के अनुसार,

a4 + a8 = 24

a + 3d + a + 7d = 24

2a + 10d = 24

a + 5d = 12

a = 12 – 5d  …………(1)

दूसरी शर्त के अनुसार,

a6 + a10 = 44

a + 5d + a + 9d = 44

2a + 14d = 44

a + 7d = 22

समीकरण (1) से a का मान रखने पर,

(12 – 5d) + 7d = 22

2d = 10

d = 5

समीकरण (1) में d का मान रखने पर,

a = 12 – 5×5

a = -13

इस A.P. के प्रथम तीन पद: a, a + d, a + 2d = -13, -8, -3 हैं।

 

19. सुब्बा राव ने 1995 में5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष ₹200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उनका वेतन ₹7000 हो गया?

 

आरंभिक मासिक वेतन = a = ₹5000 तथा प्रत्येक वर्ष वेतन वृद्धि (सार्व अंतर) = d = ₹200

माना n वर्ष में उनका वेतन ₹7000 हो गया।

इसलिए, an = 7000

a + (n – 1)d = 7000

5000 + (n – 1)(200) = 7000

(n – 1)(200) = 2000

n – 1 = 10

n = 11

अतः, 11वें वर्ष में उनका वेतन ₹7000 हो गया।

 

20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹1.75 बढ़ती गई। यदि nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।

 

प्रथम सप्ताह की बचत = a = ₹5 तथा बढ़ाई गई साप्ताहिक बचत (सार्व अंतर) = d = ₹1.75

n वर्ष में साप्ताहिक बचत ₹20.75 हो जाती है।

इसलिए, an = 20.75

a + (n – 1)d = 20.75

5 + (n – 1)(1.75) = 20.75

(n – 1)(1.75) = 15.75

n – 1 = 15.75/1.75 = 9

n = 10

अतः, n का मान 10 है।


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