HCF and LCM in hindi

 महत्तम समापवर्तक तथा लघुत्तम समापवर्त्य(HCF and LCM)

HCF and LCM math

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म൦स൦ - महत्तम समापवर्तक

HCF- Highest Common Factor or GCD- Greatest Common Divisor

ल൦स൦ - लघुत्तम समापवर्त्य

LCM- Least Common Multiple or Lowest Common Multiple

परिभाषाएँ और सामान्य नियम (Definitions and General Rules)

अपवर्तक या गुणनखंड और अपवर्त्य या गुणज (Factor and Multiple)

यदि कोई संख्या a दूसरी संख्या b को पूर्णतया विभक्त करती है तो a को b का अपवर्तक या गुणनखंड कहते है तथा b को a का अपवर्त्य या गुणज कहते है। 

उदाहरण - 5, 15 को पूर्णतया विभक्त करती है अतः 5 को 15 का अपवर्तक या गुणनखंड कहते है तथा 15 को 5 का अपवर्त्य या गुणज कहते है।

कुछ और उदाहरण से समझते है-

45 के अपवर्तक या गुणनखंड 5 के अपवर्त्य या गुणज
45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45
45 संख्याओं 1, 3, 5, 9, 15 से पूर्णतया विभाजित होता है इसलिए 1, 3, 5, 9, 15 सभी 45 के अपवर्तक या गुणनखंड है
5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55
ये सभी 5 के गुणज हैं, अर्थात यह कहा जा सकता है कि किसी भी संख्या को 5 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल 5 का गुणज होता है। जैसे- 5✕1=5, 5✕2= 10, 5✕3= 15,....5✕9=45

समापवर्तक (Common Factor) 

ऐसी संख्या जो दो या दो से अधिक संख्याओं में से प्रत्येक को पूर्णतया विभाजित करती है तो उस संख्या को समापवर्तक कहते है। जैसे- 5 संख्या 10, 20, 30 को पूर्णतया विभाजित करेगी अतः 5 संख्या 10, 20, 30 का समापवर्तक है। 

महत्तम समापवर्तक (HCF)

वह बड़ी से बड़ी संख्या जो दो या दो से अधिक सभी संख्याओं को विभाजित करती है तो वह संख्या उन सभी संख्याओं का महत्तम समापवर्तक कहलाती है जैसे- 10 संख्याओं 30, 40, 60, 80 का महत्तम समापवर्तक है क्योंकि यह सभी 30, 40, 60, 80 को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या है। 

समापवर्त्य (Common Multiple)

वह संख्या जो दो या दो से अधिक संख्याओं से पूर्णतया विभाजित होती है जैसे- 60 संख्या 3, 5, 6, 10, 12, 15 से पूर्णतया विभाजित होती है अतः 60 संख्या 3, 5, 6, 10, 12, 15 का समापवर्तक है।

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)

वह छोटी से छोटी संख्या जिसे दो या दो से अधिक संख्याओं में से सभी से पूर्णतया विभाजित किया जा सकता है उस संख्या को उन सभी संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कहते है। जैसे- 3, 4, 6, 8 का लघुत्तम समापवर्त्य 24 है क्योंकि यह सभी 3, 4, 6, 8 से पूर्णतया विभाजित विभाजित होने वाली छोटी से छोटी संख्या है। 

महत्तम समापवर्तक ज्ञात करने की विधियाँ (Methods of Finding the HCF)

महत्तम समापवर्तक ज्ञात करने की मुख्यतः दो विधियाँ है।

अभाज्य गुणनखण्ड विधि (Prime Factorization Method)

अभाज्य गुणनखण्ड में उन संख्याओं को ही रखा जाता है जो स्वयं या तो 1 से विभाजित होती है

यदि कोई दो संख्याएँ 35 और 42 है तो अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा महत्तम समापवर्तक -

35 के अभाज्य गुणनखण्ड = 1, 5, 7

42 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21

42 के अभाज्य गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 7

सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 7

अतः 35 और 42 का महत्तम समापवर्तक '7' है।

विभाजन विधि (Division Method)

इस विधि में बड़ी संख्या को छोटी से भाग देते है जो शेष बचता है उससे भाजक को फिर से भाग देते है यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक शेष 0 नहीं या जाता है, शेष 0 आने पर उस चरण में जो भाजक होता है वह महत्तम समापवर्तक कहलाता है। 

जैसे - यदि कोई दो संख्याएँ 35 और 42 है तो विभाजन विधि द्वारा महत्तम समापवर्तक -

Division Method HCF

अतः 35 और 42 का महत्तम समापवर्तक '7' है।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की विधियाँ (Methods of Finding the LCM)

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की मुख्यतः दो विधियाँ है।

अभाज्य गुणनखण्ड विधि (Prime Factorization Method)

अभाज्य गुणनखण्ड में उन संख्याओं को ही रखा जाता है जो स्वयं या तो 1 से विभाजित होती है

यदि कोई संख्याएँ 15, 18 और 27 है तो अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा लघुत्तम समापवर्त्य -

Factorization Method LCM

15 के अभाज्य गुणनखण्ड = 1, 35

Factorization Method LCM

18 के अभाज्य गुणनखण्ड = 1, 233

Factorization Method LCM

27 के अभाज्य गुणनखण्ड = 1, 333

लघुत्तम समापवर्त्य निकालने के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणा करते है और यदि कोई अभाज्य गुणनखण्ड दो या अधिक बार आए तो जिसमें सबसे अधिक बार आता है उसे लेते है 

 = 1✕23335 = 270

अतः 15, 18 और 27 का लघुत्तम समापवर्त्य '270' है।

विभाजन विधि (Division Method)

लघुत्तम समापवर्त्य निकालने की इस विधि को एक उदाहरण से समझते है। 

15, 18 और 27 का विभाजन विधि द्वारा लघुत्तम समापवर्त्य -

Division Method LCM

= 1✕5✕2✕3✕3✕3 = 270
संख्याओं और म൦स൦ तथा ल൦स൦ में सम्बन्ध (Relation between Numbers, and LCM, HCF)-

म൦स൦ तथा ल൦स൦ का सूत्र निम्न है-

दो संख्याओं का गुणनफल = म൦स൦✕ल൦स൦

भिन्न का महत्तम समापवर्तक तथा लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना (Find the HCF and LCM of a fraction)-

find of HCF and LCM of a fraction

Qus. 1433, 4255, 2122 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। 

Solution- अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = (14, 42, 21 का म. स.) (33, 55, 22 का ल. स.) 

14, 42, 21 का म. स. -

14 के अभाज्य गुणनखण्ड = 1, 2, 7

42 के अभाज्य गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 7

21 के अभाज्य गुणनखण्ड = 1, 3, 7

14, 42, 21 का म. स. = 7

33, 55, 22 का ल. स. -

LCM of fraction
33, 55, 22 का ल. स. = 2✕5✕3✕11 = 330

अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = 7 330 

Qus. 111455423335 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। 

Solution- अभीष्ट लघुत्तम समापवर्त्य = (11, 55, 33 का ल. स.) (14, 42, 35 का म. स.) 

11, 55, 33 का ल. स. -

fraction

11, 55, 33 का ल. स. = 5✕3✕11 = 165

14, 42, 35 का म. स. -

14 के अभाज्य गुणनखण्ड = 1, 2, 7

42 के अभाज्य गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 7

35 के अभाज्य गुणनखण्ड = 1, 3, 5, 7

या 

fraction

(कोई ऐसा अंक नहीं है जो 2, 6, 5 को विभाजित करता हो इसलिए यह प्रक्रिया यही रुक जाएगी।)

14, 42, 21 का म. स. = 7

अभीष्ट लघुत्तम समापवर्त्य = 165 7


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