Number System Math in Hindi

 गणित संख्या पद्धति (Number System Math)

Number System Mathematics

संख्याओं को उनकी प्रकृति और संरचना के आधार पर कई भागों में बाँटा गया है जो निम्न है।

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संखाओं के प्रकार (Types of Numbers) 

प्राकृत संख्याएँ (Natural numbers)  

किसी भी चीज को गिनने के दौरान प्रयोग होने वाली संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ होती हैं।  

पाइनोस (Peano's postulates)- "वे संख्याएँ जो वस्तुओं को गिनने के काम आती है।"

इसे 'N' से प्रदर्शित करते है। 

N = {1, 2, 3, 4, 5, ............∞}

पूर्णांक संख्याएँ (Integers)

पूर्णांक -∞ से ∞ तक के समुच्चय को पूर्णांक कहते है इसे 'Z' से प्रदर्शित करते है Z जर्मन वर्ड 'zahlen' के लिए इस्तेमाल किया जाता है जिसका अर्थ 'Numbers' or 'to count' होता है। 

Z = {-∞, ...........-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 .........., ∞}

पूर्णांक संख्याओं को धनात्मक और ऋणात्मक में वर्गीकृत किया जा सकता है धनात्मक पूर्णांक को Z+ से और ऋणात्मक पूर्णांक को Z- से निरूपित किया जाता है 

Z- = {-∞, ...........-5, -4, -3, -2, -1}

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5 .........., ∞}

Qus. यदि a और b कोई दो पूर्णांक हो तो, क्या ab पूर्णांक होंगे?

ab = 00 (अपरिभाषित)

5-2 = 125 = 0.04

यह सत्य नहीं है क्योकि 0 रखने पर यह अपरिभाषित हो जाता है। 

पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers)

जब प्राकृत संख्याओं में 0 को भी शामिल कर लिया जाता है, तो समुच्चय पूर्ण संख्याओं का समुच्चय बन जाता है इसे 'W' से प्रदर्शित करते है। 

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5 .........., ∞}

सम संख्याएँ (Even Numbers)

2 से विभाजित होने वाली प्राकृत संख्याओं को सम संख्या कहते है इसे अधिकतर 'E' से प्रदर्शित करते है। 

E = {2, 4, 6, 8, ............, ∞}

विषम संख्याएँ (Odd Numbers)

वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित नहीं होती है उसे विषम संख्या कहते है इसे 'O' से प्रदर्शित करते है। 

O = { 3, 5, 7, 9 ............, ∞}

भाज्य संख्याएँ या संयुक्त संख्याएँ या यौगिक संख्याएँ (Divisible Number/Composite Number)

वे पूर्ण संख्याएँ जिनके स्वयं और 1 के अतिरिक्त और भी गुणनखण्ड होते है या स्वयं और 1 के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से भी विभाजित होती है उन्हें भाज्य संख्याएँ कहते है। 

जैसे - 4, 6, 8, 9, 10 ............, 

'4' के गुणनखण्ड = 1, 2, 4

'9' के गुणनखण्ड = 1, 3, 9

➡ सबसे छोटी भाज्य संख्या '4' है। 

➡ सबसे छोटी विषम भाज्य संख्या '9' है। 

अभाज्य संख्याएँ/रूढ़ संख्याएँ (Prime Number)

वे पूर्ण संख्याएँ जिनके स्वयं और 1 के अतिरिक्त कोई और गुणनखण्ड नहीं होता या स्वयं और 1 के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से विभाजित नहीं होती है उन्हें अभाज्य संख्याएँ कहते है। 

जैसे - 2, 3, 5, 7, 11 ............, 

'2' के गुणनखण्ड = 1, 2

'7' के गुणनखण्ड = 1, 7

➡  '2' सबसे छोटी अभाज्य संख्या है और '1' न ही भाज्य संख्या है न अभाज्य संख्या है 

➡ '3' सबसे छोटी विषम अभाज्य संख्या है 

सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-Prime Numbers)

दो अभाज्य संख्याएँ जिनमें 1 के अतिरिक्त कोई और उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं होता है। 

जैसे - (2, 5), (7, 11), (19, 13), (23, 29)

(7, 11)

7 = 1✕7

11 = 1✕11

1 के अतिरिक्त कोई और उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।

आपेक्षित अभाज्य संख्या (Relatively prime numbers)

दो संख्याएँ जिनमें 1 के अतिरिक्त कोई और उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं होता है दूसरे शब्दों में जिनका HCF, 1 होता है। 

जैसे - (4, 15), (13, 81), (19, 13), (23, 29)

(13, 81)

13 = 1✕13

81 = 13✕3✕3✕3

1 के अतिरिक्त कोई और उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।

➡ कोई दो क्रमागत संख्याएँ भी सह-अभाज्य संख्याएँ हो सकती है। 

(2, 3), (81, 82), (99, 100) 

➡ कई बार आपेक्षित अभाज्य संख्या को सह-अभाज्य संख्या भी कहते है। 

युग्म अभाज्य संख्या (Twin Prime Number)

वह अभाज्य संख्याएँ जिनके बीच का अंतर '2' हो युग्म अभाज्य संख्याएँ कहते है।

जैसे - (3, 5), (7, 9), (9, 11), (11, 13)

परिमेय संख्याएँ (Rational Number)

ऐसी संख्याएँ जो pq के रूप में निरूपित की जा सकती है उन्हें परिमेय संख्या कहते है जहाँ p व q पूर्णांक हैं, दोनों का कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है और q ≠ 0 है।  

जैसे -25, 117, -511, √251, 1√36, 227

➡ वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार सांत (Terminating Decimals) या समान आवृत्ति (Repeating Decimals) का हो। 

जैसे -  0.6578, 52.67, 0.3333.......= 0.3 , 86.73586586586586.....= 86.73586

दशमलव प्रसार सांत (Terminating Decimals)- वे संख्याएँ जो दशमलव के कुछ अंक बाद रुक जाती है। 

जैसे -  0.6578, 52.6758 

समान आवृत्ति दशमलव (Repeating Decimals)- वे संख्याएँ जिनमें कोई एक संख्या या सख्याओं के समूह की बार-बार पुनरावृत्ति होती है। 

जैसे -  0.33333.....= 0.3, 52.67582582582........= 52.67582

अपरिमेय संख्या (Irrational Numbers) 

वे संख्याएँ जिन्हें pq के रूप में नहीं लिखा जा सकता अपरिमेय संख्या कहलाती है। 

जैसे -  √2, √3, √5, √(11), π [क्योंकि π का मान = 3. 4159...... (लगभग)]

➡ वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार असांत (Non-Terminating Decimals) व असमान आवृत्ति (Non-repeating Decimals) का होता है अपरिमेय संख्याएँ होती है। 

जैसे -  √2 = 1.41421356........

Qus. 0.33333........को एक परिमेय संख्या (भिन्न संख्या) में बदलें। 

माना x = 0.33333....... ----(i)

प्रश्नानुसार,

x= 0.333333.....

10x = 10✕0.33333.....

10x = 3.3333333.....

10x = 3 + 0.333333.........

10x = 3 + x        [समीकरण '(i)' से]

10x - x = 3

9x = 3

x = 39

x = 13

Qus. यदि a और b कोई दो परिमेय संख्या हो, तो निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या परिमेय संख्या है?

(i) a+b    (परिमेय संख्या है)

e.g- 13 + 25 = (5+6)15 = 1115

(ii) a-b    (परिमेय संख्या है)

e.g- 23 - 13 = 13

(iii) a✕b    (परिमेय संख्या है)

e.g- 2345 = 815

(iv) ab    (परिमेय संख्या नहीं है)

e.g- (0)(0)  (अपरिभाषित)

 (a)(0)  = ∞ (अपरिभाषित)

(v) ab    (परिमेय संख्या नहीं है)

e.g- (5)(1/2) = √5 (अपरिमेय संख्या)

(0)0 (अपरिभाषित)

➡ किन्ही दो परिमेय संख्याओं के मध्य अनगिनत परिमेय संख्या होती है। 

➡ किन्ही दो अपरिमेय संख्याओं के मध्य अनगिनत अपरिमेय सख्याओं होती है। 

वास्तविक संख्या (Real Number)

वे परिमेय या अपरिमेय संख्याएँ जिनका वर्ग करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त हो वास्तविक संख्या कहलाती है। 

जैसे-  -5, -6/7 

(-5)2 = 25

 (-6/7)2= 36/49

काल्पनिक संख्या (Imaginary Number) या अवास्तविक संख्या (Non-Real Number)

वे परिमेय या अपरिमेय संख्याएँ जिनका वर्ग करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त हो काल्पनिक संख्या कहलाती है इसे 'i' से प्रदर्शित करते है जिसे 'iota' कहते है इसका मान √-1 होता है। 

जैसे-  √-5, √(-6/7)

√-5 = √(-1✕5) = i√5

√(-6/7) = √(-1✕6/7) = i√(6/7)

समिश्र संख्या (Complex Number)

समिश्र संख्याएँ काल्पनिक और वास्तविक संख्याओं से मिलकर बनी होती है इन्हे a±ib से निरूपित करते है। 

जहाँ, a = काल्पनिक संख्या 

b = वास्तविक संख्या 

जैसे-  2+i3, 5-i6, -6+i√8

Qus. यदि a और b कोई दो वास्तविक संख्या हो, तो निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या वास्तविक संख्या है?

(i) ab (वास्तविक संख्या नहीं है)

e.g.- 5/0 = ∞ 

(ii) a(वास्तविक संख्या नहीं है)

e.g.- (-5)1/2 = √-5 = √(-1✕5) = i√5 (काल्पनिक)

चक्रीय संख्याएँ (Cyclic Numbers)

'n' अंकों की ऐसी संख्या जिसे '1' से लेकर जितने अंकों की वह संख्या है वहां तक किसी भी अंक से गुणा करने पर गुणनफल उन्ही 'n' अंकों की संख्या से बना होता है। इस प्रकार की संख्या को चक्रीय संख्याएँ कहते है।

जैसे-  142857

(संख्या में अंक) n = 6   (1, 2, 3, 4, 5, 6)

1✕142857 = 142857

2✕142857 = 285714

3✕142857 = 428571

4✕142857 = 571428

5✕142857 = 714285

6✕142857 = 857142

पूर्णकालिक संख्या (Perfect Numbers) 

वे संख्याऐं जिनके गुणनखण्डों (factors) का योग स्वयं उस संख्या को छोड़कर पुनः वही संख्या आये उस संख्या को पूर्णकालिक संख्या कहते है। 

जैसे-  6, 28, 496

6 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 6

6 को छोड़कर सभी गुणनखंडो का योग = 1+2+3 = 6

➡ 6 सबसे छोटी पूर्णकालिक संख्या है। 

28 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 7, 14, 28

28 को छोड़कर सभी गुणनखंडो का योग = 1+2+4+7+14 = 28


496 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496

496 को छोड़कर सभी गुणनखंडो का योग = 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496

➡ यदि कोई संख्या पूर्णकालिक है तो स्वयं सहित इसके सभी गुणनखंडो के व्युत्क्रम का योग हमेशा '2' होगा। 

6 = 1, 2, 3, 6

11 + 12 + 13 + 16 = (6+3+2+1)6 = 126 = 2

28 = 1, 2, 4, 7, 14, 28

11 + 12 + 14 + 17 + 114 + 128 = (28+14+7+4+2+1)28 = 5628 = 2

रामानुजन संख्या या हार्डी-रामानुजन संख्या (Ramanujan's number or Ramanujan-Hardy number)

वह संख्या जिसे दो अलग-अलग प्रकार की संख्याओं के घनों के योग  के रूप में लिखा जा है। 

जैसे-  1729 

Ramanujan-Hardy number

हैप्पी संख्या (Happy Number)

किसी संख्या के सभी अंकों के वर्गो का योग करें और यह प्रक्रिया तब तक जारी रखे जब तक कि अंतिम परिणाम '1' न आ जाये पर जिन संख्याओं में अंतिम परिणाम '1' नहीं आता है वह हैप्पी संख्या नहीं है। 

जैसे-  49, 44, 13, 23, 28, 31, 82 

49 = 42 + 92 = 16+81 = 97

97 = 92 + 72 = 81+49 = 130

130 = 12 + 32 + 02 = 1+9+0 = 10

10 = 12 + 02 = 1+0 = 1

और 

28 = 22 + 82 = 4+64 = 68

68 = 62 + 82 = 36+64 = 100

100 = 12 + 02 + 0= 1+0+0 = 1

पैलिन्ड्रोमिक संख्या (Palindromic Number)

पैलिन्ड्रोमिक संख्या को अंक पैलिन्ड्रोम या संख्यात्मक पैलिन्ड्रोम भी कहते है एक पैलिन्ड्रोमिक संख्या को उल्टा लिखने पर भी संख्या समान ही रहती है दुसरे शब्दों में ऊर्ध्वाधर अक्ष पर परावर्तित समरूपता दिखाई देती है। 

जैसे-  (11)2 = 121

(111)2 = 12321

(1111)2 = 1234321

या 

75257

16561

योग के गुण (Properties of Addition)

संवरक गुण (Closure Property)

दो पूर्णांक संख्याओं का योग सदैव एक पूर्णांक संख्या होगी। 

a+b = c

जहाँ a, b और c पूर्णांक हैं। 

जैसे-  4+5 = 9

3+(-2) = 1

(-4)+3 = -1

क्रमविनिमय गुण (Commutative Property)

इस गुण के अनुसार स्थान बदल देने से संख्या के मान में कोई फर्क नहीं पड़ता है। 

a+b = b+a

जहाँ a, b पूर्णांक हैं। 

जैसे-  4+5 = 9 या 5+4 = 9

(-8)+10 = 2 या 10+(-8) = 2

साहचर्य गुण (Associative Property)

यह तीन या अधिक संख्याओं को जोड़ने के लिए प्रक्रिया प्रदान करता है। 

(a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c

जैसे-  (4+3)+5 = 4+(3+5) = 12

योज्य या योगात्मक तत्समक (Additive Identity)

यदि a + 0 = a, अतः शून्य को योगात्मक तत्समक कहते है। 

जैसे-  4+0 = 4

योगात्मक प्रतिलोम (Additive Inverse)

यदि a + (-a) = 0, अतः a और (-a) दोनों एक-दूसरे के योगात्मक प्रतिलोम होंगे। 

जैसे-  4+(-4) = 0, अतः 4 और (-4) दोनों एक-दूसरे के योगात्मक प्रतिलोम है। 

गुणन के गुण (Properties of Multiplication)

संवरक गुण (Closure Property)

दो पूर्णांक संख्याओं का गुणा सदैव एक पूर्णांक संख्या होगी। 

a✕b = c

जहाँ a, b और c पूर्णांक हैं। 

जैसे-  4✕5 = 20 

3✕(-2) = -6

(-4)✕3 = -12

क्रमविनिमय गुण (Commutative Property)

इस गुण के अनुसार स्थान बदल देने से संख्या के मान में कोई फर्क नहीं पड़ता है। 

a✕b = b✕a

जहाँ a, b पूर्णांक हैं। 

जैसे-  4✕5 = 20 या 5✕4 = 20

(-8)✕10 = -80 या 10✕(-8) = -80

साहचर्य गुण (Associative Property)

यह तीन या अधिक संख्याओं को जोड़ने के लिए प्रक्रिया प्रदान करता है। 

(a✕b)✕c = a✕(b✕c) 

जैसे-  (4✕3)✕5 = 4✕(3✕5) = 60

गुणात्मक तत्समक (Multiplicative Identity)

यदि a ✕ 1 = a, अतः 1 को गुणात्मक तत्समक कहते है। 

जैसे-  4✕1  = 4

गुणात्मक प्रतिलोम (Multiplicative Inverse)

यदि a ✕ b = 1, अतः a और b दोनों एक-दूसरे के गुणात्मक प्रतिलोम होंगे। 

या, यदि xy ✕ yx = 1, अतः xy और yदोनों एक-दूसरे के गुणात्मक प्रतिलोम होंगे। 

जैसे-  4✕14 = 1, अतः 4 और 1दोनों एक-दूसरे के गुणात्मक प्रतिलोम है। 

या, 3443 = 1, अतः 3और 43 दोनों एक-दूसरे के गुणात्मक प्रतिलोम है।

गुणन का पुनरावृत्त योग (Iterative sum of multiplication)

यदि किसी संख्या का बार-बार योग होता है तो उसका मान उस संख्या और उसकी आवृत्ति के गुणनफल के बराबर होता है। 

a+a+a = 3✕a

जैसे-  4+4+4 = 3✕4 = 12

संख्याओं में भाग संक्रिया (Divison Operation in Numbers)

माना किसी संख्या a को संख्या b से विभक्त करने पर भागफल q तथा शेषफल r है, तब 

Divison Operation in Numbers

a = bq +r,    जहाँ 0 ≤ r < b

a = भाज्य (dividend)

b = भाजक (divisor)

q = भागफल (quotient)

r = शेषफल (remainder)

भाज्य = (भाजक ✕ भागफल) + शेषफल 

➡ (xn - an) सदैव (x - a) से पूर्णंतया विभक्त होगा, जब n एक विषम संख्या हो। 

➡ (xn + an) तभी (x + a) से पूर्णंतया विभक्त होगा, जब n एक विषम संख्या हो। 

➡ (xn - an) तभी (x + a) & (x - a) से पूर्णंतया विभक्त होगा, जब n एक सम संख्या हो। 

➡ (xn + an) कभी भी (x + a) & (x - a) से पूर्णंतया विभक्त नहीं होगा, जब n एक सम संख्या हो।